Номер 5, страница 192 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 5, страница 192.

5. Какие соединения называют размещениями (без повторений)? Чему равно число размещений (без повторений) из $m$ элементов по $n$?

Определение размещений (без повторений)

Размещениями без повторений из $m$ элементов по $n$ называют такие соединения (или упорядоченные выборки), которые состоят из $n$ различных элементов, взятых из данного множества, содержащего $m$ элементов. Два размещения считаются различными, если они отличаются либо составом элементов, либо их порядком следования. Важными условиями являются $n \le m$ и то, что все элементы в размещении должны быть различны.

Например, пусть дано множество из трех букв {А, Б, В}, то есть $m=3$. Составим из него все возможные размещения по два элемента ($n=2$). Такими размещениями будут пары:

(А, Б), (Б, А), (А, В), (В, А), (Б, В), (В, Б).

Как видно из примера, пара (А, Б) и пара (Б, А) — это два разных размещения, так как в них нарушен порядок следования элементов, хотя состав элементов одинаков.

Ответ: Размещениями без повторений из $m$ элементов по $n$ называют упорядоченные наборы из $n$ различных элементов, выбранных из исходного множества, содержащего $m$ элементов.

Число размещений (без повторений) из m элементов по n

Число всех возможных размещений без повторений из $m$ элементов по $n$ обозначается символом $A_m^n$ (от французского arrangement — размещение, приведение в порядок) и вычисляется на основе правила умножения.

Рассуждения для вывода формулы следующие:
– на первое место в размещении можно поставить любой из $m$ элементов;
– после того как первый элемент выбран, на второе место можно поставить любой из оставшихся $m-1$ элементов;
– на третье место — любой из $m-2$ оставшихся, и так далее;
– для последнего, $n$-го места, останется $m-(n-1)$ или $m-n+1$ возможных элементов.

Таким образом, общее число размещений равно произведению числа вариантов на каждом шаге:

$A_m^n = m \cdot (m-1) \cdot (m-2) \cdot \ldots \cdot (m-n+1)$

Эту формулу также можно записать в более компактной форме с использованием факториалов:

$A_m^n = \frac{m!}{(m-n)!}$

где $m!$ (читается "m факториал") — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $m$.

Ответ: Число размещений (без повторений) из $m$ элементов по $n$ равно $A_m^n = \frac{m!}{(m-n)!}$.