Номер 6, страница 192 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Вопросы к главе V - номер 6, страница 192.

Условие.

6. Какие соединения называют сочетаниями (без повторений)? Чему равно число сочетаний (без повторений) из $m$ элементов по $n$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Какие соединения называют сочетаниями (без повторений)?

Сочетаниями без повторений из $m$ различных элементов по $n$ элементов (при условии $n \le m$) называют любые подмножества исходного множества, которые содержат ровно $n$ элементов. Главная особенность сочетаний заключается в том, что порядок следования элементов в подмножестве не важен. Таким образом, два подмножества считаются различными сочетаниями только в том случае, если они отличаются по своему составу, то есть содержат хотя бы один различный элемент.

Например, из множества, состоящего из трех букв {А, Б, В}, можно образовать три сочетания по два элемента: {А, Б}, {А, В} и {Б, В}. Наборы {А, Б} и {Б, А} представляют собой одно и то же сочетание.

Ответ: Сочетания (без повторений) из $m$ по $n$ — это любые неупорядоченные выборки (подмножества) объемом $n$ из множества, содержащего $m$ различных элементов.

Чему равно число сочетаний (без повторений) из m элементов по n?

Число сочетаний без повторений из $m$ элементов по $n$ элементов, которое также называют биномиальным коэффициентом, обозначается символом $C_m^n$ или $\binom{m}{n}$. Оно вычисляется по формуле:

$C_m^n = \frac{m!}{n!(m-n)!}$

Здесь $m$ — общее количество элементов в исходном множестве, $n$ — количество элементов в каждом сочетании (при этом $0 \le n \le m$). Выражение $k!$ (читается как «k-факториал») представляет собой произведение всех целых положительных чисел от 1 до $k$ включительно: $k! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot k$. По определению, $0! = 1$.

Ответ: Число сочетаний (без повторений) из $m$ элементов по $n$ равно $C_m^n = \frac{m!}{n!(m-n)!}$.