Номер 3, страница 192 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 3, страница 192.

3. Какие соединения называют размещениями с повторениями?
Чему равно число размещений с повторениями из $m$ элементов по $n$?

Какие соединения называют размещениями с повторениями?

Размещениями с повторениями из $m$ элементов по $n$ называют упорядоченные наборы (кортежи) длины $n$, составленные из элементов данного $m$-элементного множества, причем элементы в наборе могут повторяться.

Это означает, что при составлении таких наборов важны две вещи:

1. Порядок элементов. Наборы, которые отличаются только порядком следования элементов, считаются разными. Например, кортежи $(A, B, A)$ и $(A, A, B)$ — это два различных размещения.

2. Возможность повторения элементов. Один и тот же элемент исходного множества может быть использован в наборе несколько раз. Например, кортеж $(A, A, A)$ является допустимым размещением.

Проще говоря, это результат $n$ последовательных выборов из $m$ вариантов, когда после каждого выбора вариант возвращается и может быть выбран снова.

Ответ: Размещениями с повторениями из $m$ элементов по $n$ называют упорядоченные наборы длины $n$, составленные из элементов $m$-элементного множества, в которых элементы могут повторяться.

Чему равно число размещений с повторениями из m элементов по n?

Для нахождения числа размещений с повторениями используется комбинаторное правило произведения. Мы формируем упорядоченный набор длиной $n$, то есть заполняем $n$ позиций.

На первую позицию в наборе мы можем поместить любой из $m$ элементов исходного множества. У нас есть $m$ способов сделать это.

Поскольку элементы могут повторяться (выбор с возвращением), на вторую позицию мы также можем поместить любой из $m$ элементов. Это снова даёт $m$ способов.

Аналогично для третьей, четвертой и всех последующих позиций, вплоть до $n$-й. Для каждой из $n$ позиций существует ровно $m$ вариантов выбора.

По правилу произведения, общее число способов составить такой набор равно произведению числа способов для каждой из позиций:

$\underbrace{m \cdot m \cdot \ldots \cdot m}_{n \text{ раз}} = m^n$

Число размещений с повторениями из $m$ элементов по $n$ принято обозначать $\bar{A}_m^n$.

Ответ: Число размещений с повторениями из $m$ элементов по $n$ равно $m$ в степени $n$ и вычисляется по формуле: $\bar{A}_m^n = m^n$.