Страница 192 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

508. В цветочном магазине продают цветы 7 видов (каждый вид представлен более чем 3 цветками). Сколькими способами можно составить букет из 3 цветков?

Для решения этой задачи необходимо определить, сколькими способами можно составить букет из 3 цветков, выбирая из 7 доступных видов. Поскольку порядок цветов в букете не имеет значения (букет из розы и двух тюльпанов — это то же самое, что и букет из двух тюльпанов и розы), а цветы одного вида могут повторяться (например, букет из трех роз), мы имеем дело с задачей на сочетания с повторениями. Условие, что каждого вида цветов более 3, означает, что запас цветов каждого вида достаточен и не накладывает ограничений на выбор.

Формула для числа сочетаний с повторениями из $n$ элементов по $k$ имеет вид:

$\bar{C}_n^k = C_{n+k-1}^k = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}$

В нашей задаче дано:
- количество видов цветов, из которых мы выбираем, $n = 7$;
- количество цветов в букете, $k = 3$.

Подставляем эти значения в формулу:

$\bar{C}_7^3 = C_{7+3-1}^3 = C_9^3$

Теперь вычислим значение сочетания:

$C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

Таким образом, существует 84 способа составить букет.

Также задачу можно решить, рассмотрев все возможные типы композиций букета:

1. Все три цветка одного вида (например, 3 розы).
Для этого нужно выбрать 1 вид из 7 доступных. Количество способов: $C_7^1 = 7$.

2. Два цветка одного вида, а третий — другого (например, 2 розы и 1 тюльпан).
Сначала выбираем вид для двух одинаковых цветков ($7$ способов), а затем выбираем вид для третьего цветка из оставшихся 6 видов ($6$ способов). Общее число способов: $7 \times 6 = 42$.

3. Все три цветка разных видов (например, роза, тюльпан и гвоздика).
Для этого нужно выбрать 3 разных вида из 7 доступных. Количество способов: $C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.

Сложив все варианты, получаем общее количество способов: $7 + 42 + 35 = 84$.

Ответ: 84

1. Решением каких задач занимается комбинаторика?

1. Комбинаторика — это раздел дискретной математики, который занимается решением задач, связанных с выбором, расположением и подсчетом количества различных конфигураций (или комбинаций), которые можно составить из элементов заданного, как правило, конечного множества.

Круг задач, решаемых комбинаторикой, очень широк. Их можно условно разделить на несколько основных типов:

1. Перечислительные задачи (или задачи на подсчет). Это самый известный и фундаментальный тип задач. Их цель — ответить на вопрос "Сколько существует способов?". Например: сколькими способами можно расставить 10 книг на полке, сколькими способами можно выбрать 3 дежурных из класса в 25 человек, или сколько существует различных автомобильных номеров в данном регионе.

2. Задачи на существование. В таких задачах требуется определить, существует ли хотя бы одна комбинация, удовлетворяющая определенным условиям. Классический пример — задача о семи кёнигсбергских мостах, которая спрашивала, существует ли маршрут, проходящий по каждому мосту ровно один раз.

3. Задачи на построение (конструктивные задачи). Эти задачи требуют не только доказать существование искомой конфигурации, но и предоставить алгоритм для её построения. Например, построить магический квадрат или составить сбалансированное расписание турнира, где каждая команда играет с каждой.

4. Экстремальные (оптимизационные) задачи. Здесь цель состоит в поиске среди всех возможных комбинаций такой, которая является "наилучшей" по какому-либо критерию (например, самой большой, самой маленькой, самой дешевой или самой быстрой). Типичный пример — задача коммивояжера, где нужно найти кратчайший маршрут, проходящий через все заданные города.

Для решения перечислительных задач комбинаторика оперирует основными понятиями, такими как:

• Перестановки – способы упорядочивания $n$ различных элементов. Их число равно $P_n = n!$.

• Размещения – способы выбора и упорядочивания $k$ элементов из $n$ различных. Их число равно $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

• Сочетания – способы выбора $k$ элементов из $n$ различных без учета порядка. Их число равно $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Ответ: Комбинаторика занимается решением задач, связанных с выбором и расположением объектов. В основном это задачи на подсчет количества возможных комбинаций (перечислительная комбинаторика), а также задачи на доказательство существования, построение алгоритмов для создания и поиск оптимальных (наилучших) конфигураций.

2. Сформулировать правило произведения.

Правило произведения (или правило умножения) — это один из основных принципов комбинаторики, который позволяет находить общее число исходов сложного (составного) эксперимента, состоящего из нескольких последовательных независимых этапов.

Формулировка правила

Если существует $n_1$ способов выполнить первое действие, и для каждого из этих способов существует $n_2$ способов выполнить второе действие, и так далее, до $k$-го действия, которое можно выполнить $n_k$ способами (независимо от результатов предыдущих действий), то общее число способов выполнить всю последовательность из $k$ действий равно произведению этих чисел.

Математически это выражается формулой: $$ N = n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot \dots \cdot n_k $$ где $N$ — общее число способов.

С точки зрения теории множеств, правило произведения утверждает, что мощность декартова произведения конечных множеств равна произведению их мощностей: $$ |A_1 \times A_2 \times \dots \times A_k| = |A_1| \cdot |A_2| \cdot \dots \cdot |A_k| $$

Пример 1: Выбор одежды

Предположим, в шкафу есть 5 различных футболок, 3 пары джинсов и 2 пары кроссовок. Сколько различных комплектов одежды (футболка + джинсы + кроссовки) можно составить?

Решение:

Здесь мы имеем три последовательных выбора:

• Выбор футболки: $n_1 = 5$ способов.
• Выбор джинсов: $n_2 = 3$ способа.
• Выбор кроссовок: $n_3 = 2$ способа.

Чтобы найти общее количество комплектов, мы перемножаем количество вариантов для каждого шага: $$ N = 5 \cdot 3 \cdot 2 = 30 $$ Таким образом, можно составить 30 различных комплектов одежды.

Пример 2: Составление пароля

Сколько различных паролей можно создать, если пароль должен состоять из двух заглавных латинских букв (всего 26 букв) и трех цифр (от 0 до 9), причем символы могут повторяться?

Решение:

Пароль состоит из 5 позиций. Рассчитаем количество вариантов для каждой позиции:

• Первая позиция (буква): $n_1 = 26$ вариантов.
• Вторая позиция (буква): $n_2 = 26$ вариантов (так как повторения разрешены).
• Третья позиция (цифра): $n_3 = 10$ вариантов.
• Четвертая позиция (цифра): $n_4 = 10$ вариантов.
• Пятая позиция (цифра): $n_5 = 10$ вариантов.

Общее количество возможных паролей находим по правилу произведения: $$ N = n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot n_4 \cdot n_5 = 26 \cdot 26 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 26^2 \cdot 10^3 = 676 \cdot 1000 = 676000 $$ Следовательно, можно создать 676 000 различных паролей.

Ответ: Правило произведения в комбинаторике гласит: если некоторый выбор $A$ можно осуществить $n$ способами, а для каждого из этих способов другой выбор $B$ можно осуществить $m$ способами, то общее число способов сделать последовательный выбор пары $(A, B)$ равно $n \cdot m$. Для последовательности из $k$ действий, если $i$-е действие можно выполнить $n_i$ способами, то общее число способов выполнить всю последовательность равно произведению $N = n_1 \cdot n_2 \cdot \dots \cdot n_k$.

3. Какие соединения называют размещениями с повторениями?
Чему равно число размещений с повторениями из $m$ элементов по $n$?

Какие соединения называют размещениями с повторениями?

Размещениями с повторениями из $m$ элементов по $n$ называют упорядоченные наборы (кортежи) длины $n$, составленные из элементов данного $m$-элементного множества, причем элементы в наборе могут повторяться.

Это означает, что при составлении таких наборов важны две вещи:

1. Порядок элементов. Наборы, которые отличаются только порядком следования элементов, считаются разными. Например, кортежи $(A, B, A)$ и $(A, A, B)$ — это два различных размещения.

2. Возможность повторения элементов. Один и тот же элемент исходного множества может быть использован в наборе несколько раз. Например, кортеж $(A, A, A)$ является допустимым размещением.

Проще говоря, это результат $n$ последовательных выборов из $m$ вариантов, когда после каждого выбора вариант возвращается и может быть выбран снова.

Ответ: Размещениями с повторениями из $m$ элементов по $n$ называют упорядоченные наборы длины $n$, составленные из элементов $m$-элементного множества, в которых элементы могут повторяться.

Чему равно число размещений с повторениями из m элементов по n?

Для нахождения числа размещений с повторениями используется комбинаторное правило произведения. Мы формируем упорядоченный набор длиной $n$, то есть заполняем $n$ позиций.

На первую позицию в наборе мы можем поместить любой из $m$ элементов исходного множества. У нас есть $m$ способов сделать это.

Поскольку элементы могут повторяться (выбор с возвращением), на вторую позицию мы также можем поместить любой из $m$ элементов. Это снова даёт $m$ способов.

Аналогично для третьей, четвертой и всех последующих позиций, вплоть до $n$-й. Для каждой из $n$ позиций существует ровно $m$ вариантов выбора.

По правилу произведения, общее число способов составить такой набор равно произведению числа способов для каждой из позиций:

$\underbrace{m \cdot m \cdot \ldots \cdot m}_{n \text{ раз}} = m^n$

Число размещений с повторениями из $m$ элементов по $n$ принято обозначать $\bar{A}_m^n$.

Ответ: Число размещений с повторениями из $m$ элементов по $n$ равно $m$ в степени $n$ и вычисляется по формуле: $\bar{A}_m^n = m^n$.

4. Какие соединения называют перестановками? Чему равно число перестановок из $n$ элементов?

Какие соединения называют перестановками?

Перестановками из $n$ элементов называют такие комбинаторные соединения, которые состоят из всех $n$ элементов данного множества и отличаются друг от друга только порядком их расположения. Ключевым свойством перестановки является то, что в ней участвуют все элементы исходного множества без повторений, а важен именно порядок их следования.
Например, для множества из трёх букв {А, Б, В} существует 6 возможных перестановок:

• (А, Б, В)
• (А, В, Б)
• (Б, А, В)
• (Б, В, А)
• (В, А, Б)
• (В, Б, А)

Каждое из этих упорядоченных соединений является перестановкой.

Ответ: Перестановками из $n$ элементов называют соединения, которые состоят из одних и тех же $n$ элементов и отличаются друг от друга только порядком их расположения.

Чему равно число перестановок из n элементов?

Число всех возможных перестановок из $n$ различных элементов обозначается как $P_n$. Чтобы вычислить это число, можно использовать правило умножения.
Рассмотрим процесс формирования перестановки по шагам:
1. На первое место можно выбрать любой из $n$ элементов. Количество способов: $n$.
2. На второе место можно выбрать любой из оставшихся $n-1$ элементов. Количество способов: $n-1$.
3. На третье место можно выбрать любой из оставшихся $n-2$ элементов. Количество способов: $n-2$.
...
$n$. На последнее, $n$-е место, остаётся только один элемент. Количество способов: 1.
Общее число перестановок равно произведению числа способов на каждом шаге:
$P_n = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1$
Это произведение называется факториалом числа $n$ и обозначается как $n!$.
Таким образом, формула для вычисления числа перестановок из $n$ элементов:
$P_n = n!$

Ответ: Число перестановок из $n$ элементов равно $n$-факториалу: $P_n = n!$.

5. Какие соединения называют размещениями (без повторений)? Чему равно число размещений (без повторений) из $m$ элементов по $n$?

Определение размещений (без повторений)

Размещениями без повторений из $m$ элементов по $n$ называют такие соединения (или упорядоченные выборки), которые состоят из $n$ различных элементов, взятых из данного множества, содержащего $m$ элементов. Два размещения считаются различными, если они отличаются либо составом элементов, либо их порядком следования. Важными условиями являются $n \le m$ и то, что все элементы в размещении должны быть различны.

Например, пусть дано множество из трех букв {А, Б, В}, то есть $m=3$. Составим из него все возможные размещения по два элемента ($n=2$). Такими размещениями будут пары:

(А, Б), (Б, А), (А, В), (В, А), (Б, В), (В, Б).

Как видно из примера, пара (А, Б) и пара (Б, А) — это два разных размещения, так как в них нарушен порядок следования элементов, хотя состав элементов одинаков.

Ответ: Размещениями без повторений из $m$ элементов по $n$ называют упорядоченные наборы из $n$ различных элементов, выбранных из исходного множества, содержащего $m$ элементов.

Число размещений (без повторений) из m элементов по n

Число всех возможных размещений без повторений из $m$ элементов по $n$ обозначается символом $A_m^n$ (от французского arrangement — размещение, приведение в порядок) и вычисляется на основе правила умножения.

Рассуждения для вывода формулы следующие:
– на первое место в размещении можно поставить любой из $m$ элементов;
– после того как первый элемент выбран, на второе место можно поставить любой из оставшихся $m-1$ элементов;
– на третье место — любой из $m-2$ оставшихся, и так далее;
– для последнего, $n$-го места, останется $m-(n-1)$ или $m-n+1$ возможных элементов.

Таким образом, общее число размещений равно произведению числа вариантов на каждом шаге:

$A_m^n = m \cdot (m-1) \cdot (m-2) \cdot \ldots \cdot (m-n+1)$

Эту формулу также можно записать в более компактной форме с использованием факториалов:

$A_m^n = \frac{m!}{(m-n)!}$

где $m!$ (читается "m факториал") — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $m$.

Ответ: Число размещений (без повторений) из $m$ элементов по $n$ равно $A_m^n = \frac{m!}{(m-n)!}$.

6. Какие соединения называют сочетаниями (без повторений)? Чему равно число сочетаний (без повторений) из $m$ элементов по $n$?

Какие соединения называют сочетаниями (без повторений)?

Сочетаниями без повторений из $m$ различных элементов по $n$ элементов (при условии $n \le m$) называют любые подмножества исходного множества, которые содержат ровно $n$ элементов. Главная особенность сочетаний заключается в том, что порядок следования элементов в подмножестве не важен. Таким образом, два подмножества считаются различными сочетаниями только в том случае, если они отличаются по своему составу, то есть содержат хотя бы один различный элемент.

Например, из множества, состоящего из трех букв {А, Б, В}, можно образовать три сочетания по два элемента: {А, Б}, {А, В} и {Б, В}. Наборы {А, Б} и {Б, А} представляют собой одно и то же сочетание.

Ответ: Сочетания (без повторений) из $m$ по $n$ — это любые неупорядоченные выборки (подмножества) объемом $n$ из множества, содержащего $m$ различных элементов.

Чему равно число сочетаний (без повторений) из m элементов по n?

Число сочетаний без повторений из $m$ элементов по $n$ элементов, которое также называют биномиальным коэффициентом, обозначается символом $C_m^n$ или $\binom{m}{n}$. Оно вычисляется по формуле:

$C_m^n = \frac{m!}{n!(m-n)!}$

Здесь $m$ — общее количество элементов в исходном множестве, $n$ — количество элементов в каждом сочетании (при этом $0 \le n \le m$). Выражение $k!$ (читается как «k-факториал») представляет собой произведение всех целых положительных чисел от 1 до $k$ включительно: $k! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot k$. По определению, $0! = 1$.

Ответ: Число сочетаний (без повторений) из $m$ элементов по $n$ равно $C_m^n = \frac{m!}{n!(m-n)!}$.

7. Перечислить свойства сочетаний без повторений.

Сочетаниями без повторений из $n$ элементов по $k$ элементов ($0 \le k \le n$) называют любые подмножества из $k$ элементов, которые можно составить из множества, содержащего $n$ различных элементов. Порядок элементов в подмножестве не имеет значения. Число сочетаний без повторений обозначается как $C_n^k$ или $\binom{n}{k}$ и рассчитывается по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Основные свойства сочетаний без повторений:

1. Свойство симметрии

   Это свойство утверждает, что количество способов выбрать $k$ элементов из $n$ равно количеству способов выбрать $n-k$ элементов, которые не будут включены в выборку. Иными словами, выбрать $k$ элементов — это то же самое, что оставить $n-k$ элементов.

   Ответ: $C_n^k = C_n^{n-k}$

2. Граничные значения

   Для некоторых значений $k$ число сочетаний можно определить логически:

   • $C_n^0 = 1$ — существует только один способ выбрать 0 элементов (выбрать пустое множество).
   • $C_n^n = 1$ — существует только один способ выбрать все $n$ элементов.
   • $C_n^1 = n$ — существует ровно $n$ способов выбрать один элемент из $n$.

   Ответ: $C_n^0 = 1; \ C_n^n = 1; \ C_n^1 = n$

3. Правило сложения (тождество Паскаля)

   Это рекуррентное соотношение является основой для построения треугольника Паскаля. Оно показывает, как можно вычислить $C_n^k$, зная значения для $n-1$. Чтобы выбрать $k$ элементов из $n$, мы можем либо включить в выборку определенный элемент (и тогда останется выбрать $k-1$ из $n-1$), либо не включать его (и тогда нужно выбрать $k$ из $n-1$).

   Ответ: $C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k$

4. Сумма по нижнему индексу

   Сумма всех чисел сочетаний для данного $n$ (по всем возможным $k$ от 0 до $n$) равна $2^n$. Это соответствует общему количеству всех подмножеств множества, состоящего из $n$ элементов. Данное свойство является следствием формулы бинома Ньютона $(x+y)^n$ при $x=1$ и $y=1$.

   Ответ: $\sum_{k=0}^{n} C_n^k = C_n^0 + C_n^1 + \dots + C_n^n = 2^n$

5. Суммирование по верхнему индексу (правило «хоккейной клюшки»)

   Данное тождество позволяет вычислить сумму сочетаний, у которых нижний индекс $k$ фиксирован, а верхний индекс изменяется от $k$ до $n$. Название свойства происходит из-за визуального представления на треугольнике Паскаля: суммируемые элементы и результат образуют фигуру, похожую на хоккейную клюшку.

   Ответ: $\sum_{i=k}^{n} C_i^k = C_k^k + C_{k+1}^k + \dots + C_n^k = C_{n+1}^{k+1}$

8. Что такое треугольник Паскаля?

Треугольник Паскаля — это бесконечная числовая таблица треугольной формы, в которой расположены биномиальные коэффициенты. Он назван в честь французского математика Блеза Паскаля, хотя был известен задолго до него в Индии, Иране, Китае и других странах. Треугольник демонстрирует множество интересных математических свойств и находит применение в комбинаторике, теории вероятностей и алгебре.

Построить треугольник Паскаля очень просто:

• Вершина треугольника (нулевая строка) содержит одно число — 1.
• Каждая следующая строка также начинается и заканчивается единицами.
• Каждый из остальных элементов строки получается как сумма двух чисел, расположенных непосредственно над ним в предыдущей строке.

Вот как выглядят первые несколько строк треугольника (нумерация строк, n, начинается с нуля):

n=0: 1n=1: 1 1n=2: 1 2 1n=3: 1 3 3 1n=4: 1 4 6 4 1n=5: 1 5 10 10 5 1n=6: 1 6 15 20 15 6 1

Это правило построения математически выражается через тождество Паскаля: $C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k$, где $C_n^k$ — число в n-й строке на k-м месте.

Главное свойство треугольника Паскаля заключается в том, что его элементы являются биномиальными коэффициентами. Число, стоящее в n-й строке на k-м месте (нумерация с нуля), равно биномиальному коэффициенту $C_n^k$, который также обозначается как $\binom{n}{k}$ и вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Этот коэффициент показывает, сколькими способами можно выбрать $k$ элементов из множества, содержащего $n$ элементов.

Благодаря этому свойству, треугольник Паскаля можно использовать для быстрого возведения двучлена (бинома) в степень. Коэффициенты в разложении выражения $(a+b)^n$ — это в точности числа из n-й строки треугольника.

Например:

• $(a+b)^2 = 1a^2 + 2ab + 1b^2$ (коэффициенты 1, 2, 1 — строка n=2)
• $(a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 1b^3$ (коэффициенты 1, 3, 3, 1 — строка n=3)
• $(a+b)^4 = 1a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + 1b^4$ (коэффициенты 1, 4, 6, 4, 1 — строка n=4)

Треугольник Паскаля обладает множеством других закономерностей:

• Симметрия: Треугольник симметричен относительно своей вертикальной оси. Это отражает свойство биномиальных коэффициентов: $C_n^k = C_n^{n-k}$.
• Сумма элементов строки: Сумма всех чисел, расположенных в n-й строке, равна $2^n$. Например, для n=4 сумма равна $1+4+6+4+1 = 16 = 2^4$.
• Степени числа 11: Если рассматривать числа в строке как цифры одного многозначного числа, то для первых пяти строк получаются степени числа 11: $11^0=1$, $11^1=11$, $11^2=121$, $11^3=1331$, $11^4=14641$. Для следующих строк это правило также работает, если выполнять переносы разрядов (например, для n=5: 1, 5, 10, 10, 5, 1 преобразуется в 161051, что равно $11^5$).
• Числа Фибоначчи: Если суммировать числа вдоль "восходящих" диагоналей, то получатся числа из последовательности Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8, ...).

Ответ: Треугольник Паскаля — это геометрическое представление биномиальных коэффициентов в виде треугольной таблицы чисел. Он строится по простому рекуррентному правилу: каждое число равно сумме двух чисел, стоящих над ним, а по бокам треугольника расположены единицы. Его основное применение — нахождение коэффициентов при разложении бинома вида $(a+b)^n$ в многочлен, но также он наглядно демонстрирует множество других глубоких математических закономерностей и связей между различными областями математики, такими как комбинаторика и теория чисел.

9. Записать формулу бинома Ньютона.

Формула бинома Ньютона — это формула для разложения в многочлен выражения $(a+b)^n$, где $n$ — целое неотрицательное число. Она позволяет представить степень двучлена (бинома) в виде суммы одночленов.

В развернутом виде формула выглядит так:

$(a+b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^k a^{n-k} b^k + \dots + C_n^n a^0 b^n$

Более компактная запись этой формулы использует знак суммирования:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$

В этих формулах используются следующие обозначения:
- $a$ и $b$ — любые математические выражения, которые могут быть числами, переменными и т.д.
- $n$ — показатель степени, являющийся целым неотрицательным числом ($n \in \{0, 1, 2, \dots\}$).
- $k$ — индекс суммирования, который пробегает целые значения от $0$ до $n$.
- $C_n^k$ — биномиальные коэффициенты. Они показывают, сколькими способами можно выбрать $k$ элементов из множества, содержащего $n$ элементов.

Биномиальный коэффициент $C_n^k$ (также обозначается как $\binom{n}{k}$) вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Здесь $n!$ (читается как "эн факториал") — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$. По определению, $0! = 1$.

Пример разложения по формуле бинома Ньютона

Найдем разложение для $(a+b)^4$. Здесь $n=4$.

$(a+b)^4 = C_4^0 a^4 + C_4^1 a^3 b + C_4^2 a^2 b^2 + C_4^3 a b^3 + C_4^4 b^4$

Вычислим биномиальные коэффициенты:
$C_4^0 = \frac{4!}{0!(4-0)!} = \frac{4!}{1 \cdot 4!} = 1$
$C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1 \cdot 3!} = \frac{24}{6} = 4$
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6$
$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{24}{6} = 4$
$C_4^4 = \frac{4!}{4!(4-4)!} = \frac{4!}{4! \cdot 0!} = 1$

Подставив найденные коэффициенты, получаем окончательный результат:

$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

Ответ: Формула бинома Ньютона имеет вид $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$, где $n$ — целое неотрицательное число, а биномиальные коэффициенты $C_n^k$ вычисляются по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

1. Найти:

1) $P_7$; 2) $A_8^3$; 3) $C_8^3$; 4) $\frac{P_6}{A_7^5}$.

2. Упростить:

1)
Число перестановок из $n$ элементов $P_n$ (количество способов, которыми можно упорядочить множество из $n$ элементов) вычисляется по формуле $P_n = n!$ (читается как "эн факториал").
Для $n=7$ имеем:
$P_7 = 7! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 5040$.
Ответ: $5040$.

2)
Число размещений из $n$ элементов по $k$ $A_n^k$ (количество способов выбрать и упорядочить $k$ элементов из множества $n$ элементов) вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Для $n=8$ и $k=3$ имеем:
$A_8^3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$.
Ответ: $336$.

3)
Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ $C_n^k$ (количество способов выбрать $k$ элементов из множества $n$ элементов без учета порядка) вычисляется по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Для $n=8$ и $k=3$ имеем:
$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{ (3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 8 \cdot 7 = 56$.
Ответ: $56$.

4)
Для вычисления значения выражения $\frac{P_6}{A_7^5}$ воспользуемся определениями числа перестановок и числа размещений.
$P_6 = 6!$
$A_7^5 = \frac{7!}{(7-5)!} = \frac{7!}{2!}$
Теперь подставим эти выражения в исходную дробь и упростим:
$\frac{P_6}{A_7^5} = \frac{6!}{\frac{7!}{2!}} = \frac{6! \cdot 2!}{7!} = \frac{6! \cdot 2!}{7 \cdot 6!}$
Сократим $6!$ в числителе и знаменателе:
$\frac{2!}{7} = \frac{2 \cdot 1}{7} = \frac{2}{7}$.
Ответ: $\frac{2}{7}$.

A7

2. Упростить:

1) $\frac{(n+1)!}{(n-1)!}$

2) $\frac{(n-4)!}{(n-2)!}$

1) Для упрощения дроби $\frac{(n+1)!}{(n-1)!}$ необходимо воспользоваться определением факториала. Факториал числа $k$, обозначаемый как $k!$, является произведением всех натуральных чисел от 1 до $k$. Важным свойством факториала является то, что $k! = k \cdot (k-1)!$.

Расшифруем числитель $(n+1)!$ до тех пор, пока не появится множитель, равный знаменателю $(n-1)!$:

$(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot 1$

Заметим, что часть этого произведения, а именно $(n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot 1$, является $(n-1)!$. Следовательно, мы можем переписать числитель следующим образом:

$(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!$

Теперь подставим это выражение обратно в исходную дробь:

$\frac{(n+1)!}{(n-1)!} = \frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!}{(n-1)!}$

Сократим общий множитель $(n-1)!$ в числителе и знаменателе (это возможно при условии, что $n-1 \ge 0$, то есть $n \ge 1$):

$\frac{(n+1) \cdot n \cdot \cancel{(n-1)!}}{\cancel{(n-1)!}} = (n+1) \cdot n$

Можно оставить ответ в таком виде или раскрыть скобки:

$n(n+1) = n^2 + n$

Ответ: $n(n+1)$

2) Упростим выражение $\frac{(n-4)!}{(n-2)!}$. В данном случае факториал в знаменателе является факториалом большего числа, чем в числителе, так как $(n-2) > (n-4)$.

Используя то же свойство факториала, что и в предыдущем пункте, распишем знаменатель $(n-2)!$ до множителя $(n-4)!$:

$(n-2)! = (n-2) \cdot (n-3) \cdot (n-4)!$

Теперь подставим это разложение в знаменатель исходной дроби:

$\frac{(n-4)!}{(n-2)!} = \frac{(n-4)!}{(n-2) \cdot (n-3) \cdot (n-4)!}$

Сократим общий множитель $(n-4)!$ (это возможно при условии, что $n-4 \ge 0$, то есть $n \ge 4$):

$\frac{\cancel{(n-4)!}}{(n-2) \cdot (n-3) \cdot \cancel{(n-4)!}} = \frac{1}{(n-2)(n-3)}$

При желании можно раскрыть скобки в знаменателе:

$\frac{1}{(n-2)(n-3)} = \frac{1}{n^2 - 3n - 2n + 6} = \frac{1}{n^2 - 5n + 6}$

Ответ: $\frac{1}{(n-2)(n-3)}$

3. Сколькими способами можно выбрать для подарка 3 предмета из девяти различных предметов?

Для решения этой задачи необходимо использовать формулу из комбинаторики. Нам нужно найти количество способов выбрать 3 предмета из 9, причем порядок выбора предметов не имеет значения (подарок из предметов А, Б, В — это тот же самый подарок, что и из предметов В, А, Б). Такая задача решается с помощью формулы для числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ различных элементов по $k$ элементам вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае:

• Общее количество различных предметов $n = 9$.
• Количество предметов, которые нужно выбрать для подарка $k = 3$.

Подставим эти значения в формулу:

$C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3! \cdot 6!}$

Теперь раскроем факториалы и произведем вычисления. Чтобы упростить расчеты, представим $9!$ как $9 \times 8 \times 7 \times 6!$:

$C_9^3 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6!}{(3 \times 2 \times 1) \times 6!}$

Сократим $6!$ в числителе и знаменателе:

$C_9^3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1}$

Выполним оставшиеся вычисления:

$C_9^3 = \frac{504}{6} = 84$

Следовательно, существует 84 способа выбрать 3 предмета из 9.

Ответ: 84

4. В одном классе изучается 10 разных учебных предметов. В пятницу завуч должен поставить в расписание этого класса 4 различных предмета. Сколькими способами он может это сделать?

В данной задаче требуется найти количество способов составить расписание на один день из 4 различных предметов, выбирая их из 10 доступных. Так как порядок предметов в расписании важен (например, если первым уроком стоит математика, а вторым — физика, это не то же самое, что наоборот), нам необходимо найти число размещений.

Размещением из n элементов по k называется любой упорядоченный набор из k элементов, выбранных из данного множества, содержащего n элементов. Число размещений обозначается $A_n^k$ и вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае:

Общее количество изучаемых предметов n = 10.

Количество предметов в расписании на пятницу k = 4.

Подставим эти значения в формулу:

$A_{10}^4 = \frac{10!}{(10-4)!} = \frac{10!}{6!}$

Расписав факториалы, получаем:

$A_{10}^4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Сократив одинаковые множители в числителе и знаменателе (то есть $6!$), получим:

$A_{10}^4 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$

Также эту задачу можно решить, используя правило умножения. Для выбора первого урока есть 10 вариантов. Так как предметы должны быть разными, для второго урока остается 9 вариантов. Для третьего — 8 вариантов, а для четвертого — 7. Общее число способов равно произведению этих вариантов:

$10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$

Ответ: 5040

5. Сколькими разными способами можно разместить 6 групп школьников в шести классных комнатах (по одной группе в комнате)?

Эта задача решается с помощью методов комбинаторики. Нам нужно найти количество способов, которыми можно расположить 6 различных групп в 6 различных комнатах. Так как и группы, и комнаты различимы, и в каждой комнате может быть только одна группа, то речь идет о перестановках.

Представим процесс размещения:
- В первую комнату можно поместить любую из 6 групп (6 вариантов).
- Во вторую комнату можно поместить любую из оставшихся 5 групп (5 вариантов).
- В третью комнату — любую из оставшихся 4 групп (4 варианта).
- И так далее, пока для последней, шестой комнаты не останется только одна группа (1 вариант).

Общее количество способов равно произведению числа вариантов для каждой комнаты. Эта величина в комбинаторике называется числом перестановок из $n$ элементов и вычисляется как факториал числа $n$.

Формула для числа перестановок: $P_n = n!$.

В данном случае $n=6$, поэтому нам нужно вычислить $6!$:
$P_6 = 6! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 720$.

Следовательно, существует 720 различных способов разместить 6 групп школьников в шести классных комнатах.

Ответ: 720

6. Сколько существует трёхзначных цифровых кодов,
в которых нет одинаковых цифр?

Для решения этой задачи необходимо найти количество способов составить трёхзначный код из 10 цифр (от 0 до 9) так, чтобы все цифры в коде были различны. Это задача из области комбинаторики, которую можно решить с помощью правила умножения.

Рассмотрим поочерёдно каждую позицию в трёхзначном коде.
1. Первая цифра: На первую позицию можно поставить любую из 10 цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Следовательно, у нас есть 10 вариантов.
2. Вторая цифра: Для второй позиции можно выбрать любую из оставшихся цифр. Поскольку одна цифра уже использована, а по условию цифры повторяться не могут, у нас остаётся $10 - 1 = 9$ вариантов.
3. Третья цифра: Для третьей позиции можно выбрать любую из цифр, не использованных на первых двух позициях. Так как две разные цифры уже заняты, остаётся $10 - 2 = 8$ вариантов.

Чтобы найти общее количество возможных кодов, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции:
$N = 10 \times 9 \times 8 = 720$.

Этот результат также можно получить, используя формулу для нахождения числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$, которое обозначается $A_n^k$. В нашем случае $n=10$ (общее количество цифр) и $k=3$ (количество цифр в коде).
$A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$.

Ответ: 720

в которых нет одинаковых цифр.

7. Записать разложение бинома:

1) $(x+y)^6$

2) $(1-a)^5$

Для разложения биномов воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^n a^0 b^n$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты, которые также можно найти с помощью треугольника Паскаля.

1) $(x + y)^6$

В данном случае $a = x$, $b = y$, $n = 6$. Разложение будет иметь вид:

$(x+y)^6 = C_6^0 x^6 y^0 + C_6^1 x^5 y^1 + C_6^2 x^4 y^2 + C_6^3 x^3 y^3 + C_6^4 x^2 y^4 + C_6^5 x^1 y^5 + C_6^6 x^0 y^6$

Вычислим биномиальные коэффициенты $C_6^k$:

$C_6^0 = \frac{6!}{0!(6-0)!} = 1$

$C_6^1 = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6!}{1 \cdot 5!} = 6$

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$

$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$

Используя свойство симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$, находим остальные коэффициенты:

$C_6^4 = C_6^{6-4} = C_6^2 = 15$

$C_6^5 = C_6^{6-5} = C_6^1 = 6$

$C_6^6 = C_6^{6-6} = C_6^0 = 1$

Коэффициенты разложения: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.

Подставим найденные коэффициенты в формулу разложения:

$(x+y)^6 = 1 \cdot x^6 + 6 \cdot x^5 y + 15 \cdot x^4 y^2 + 20 \cdot x^3 y^3 + 15 \cdot x^2 y^4 + 6 \cdot x y^5 + 1 \cdot y^6$

Ответ: $(x+y)^6 = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6$

2) $(1 - a)^5$

В данном случае первый член бинома равен $1$, второй — $(-a)$, а степень $n = 5$. Представим бином как $(1+(-a))^5$.

Разложение будет иметь вид:

$(1-a)^5 = C_5^0 \cdot 1^5 \cdot (-a)^0 + C_5^1 \cdot 1^4 \cdot (-a)^1 + C_5^2 \cdot 1^3 \cdot (-a)^2 + C_5^3 \cdot 1^2 \cdot (-a)^3 + C_5^4 \cdot 1^1 \cdot (-a)^4 + C_5^5 \cdot 1^0 \cdot (-a)^5$

Поскольку $1$ в любой степени равен $1$, а $(-a)^k$ дает знак минус для нечетных $k$, формула упрощается до:

$(1-a)^5 = C_5^0 - C_5^1 a + C_5^2 a^2 - C_5^3 a^3 + C_5^4 a^4 - C_5^5 a^5$

Вычислим биномиальные коэффициенты $C_5^k$:

$C_5^0 = 1$

$C_5^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = 5$

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

Используя свойство симметрии, находим остальные:

$C_5^3 = C_5^{5-3} = C_5^2 = 10$

$C_5^4 = C_5^{5-4} = C_5^1 = 5$

$C_5^5 = C_5^{5-5} = C_5^0 = 1$

Коэффициенты разложения: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Учитывая чередование знаков, получаем:

$(1-a)^5 = 1 - 5a + 10a^2 - 10a^3 + 5a^4 - a^5$

Ответ: $(1-a)^5 = 1 - 5a + 10a^2 - 10a^3 + 5a^4 - a^5$

1. Решить относительно n уравнение:

1) $P_{n+4} = 20P_{n+2}$;

2) $A_{n+1}^3 = C_{n+2}^2$.

1) $P_{n+4} = 20P_{n+2}$

Данное уравнение содержит перестановки. Формула для числа перестановок из $k$ элементов: $P_k = k!$. Область допустимых значений (ОДЗ) для $n$ определяется условием, что индекс перестановки должен быть неотрицательным целым числом.
$n+4 \ge 0 \implies n \ge -4$
$n+2 \ge 0 \implies n \ge -2$
Таким образом, $n$ должно быть целым числом, и $n \ge -2$.

Подставим определение перестановки через факториал в исходное уравнение:
$(n+4)! = 20 \cdot (n+2)!$

Используя свойство факториала $k! = k \cdot (k-1)!$, распишем $(n+4)!$ как $(n+4)(n+3)(n+2)!$.
$(n+4)(n+3)(n+2)! = 20 \cdot (n+2)!$

Поскольку $(n+2)! \ne 0$ для любого $n$ из ОДЗ, мы можем разделить обе части уравнения на $(n+2)!$:
$(n+4)(n+3) = 20$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$n^2 + 3n + 4n + 12 = 20$
$n^2 + 7n + 12 - 20 = 0$
$n^2 + 7n - 8 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $-7$, а их произведение равно $-8$. Корнями являются:
$n_1 = 1$
$n_2 = -8$

Сравним корни с ОДЗ ($n \ge -2$).
Корень $n_1 = 1$ удовлетворяет условию.
Корень $n_2 = -8$ не удовлетворяет условию.
Следовательно, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $n=1$

2) $A_{n+1}^3 = C_{n+2}^2$

Уравнение содержит размещения ($A_n^k$) и сочетания ($C_n^k$). Их формулы:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Определим ОДЗ для $n$. Для корректного определения размещений и сочетаний необходимо, чтобы верхний индекс был не меньше нижнего.
Для $A_{n+1}^3$ требуется $n+1 \ge 3$, то есть $n \ge 2$.
Для $C_{n+2}^2$ требуется $n+2 \ge 2$, то есть $n \ge 0$.
Общее условие для $n$: $n$ — целое число и $n \ge 2$.

Подставим формулы в уравнение:
$\frac{(n+1)!}{(n+1-3)!} = \frac{(n+2)!}{2!(n+2-2)!}$
$\frac{(n+1)!}{(n-2)!} = \frac{(n+2)!}{2 \cdot n!}$

Упростим выражения, раскрыв факториалы:
Левая часть: $(n+1)n(n-1)\frac{(n-2)!}{(n-2)!} = (n+1)n(n-1)$.
Правая часть: $\frac{(n+2)(n+1)n!}{2n!} = \frac{(n+2)(n+1)}{2}$.

Получаем уравнение:
$(n+1)n(n-1) = \frac{(n+2)(n+1)}{2}$

В соответствии с ОДЗ, $n \ge 2$, следовательно, $n+1 \ne 0$. Можем разделить обе части на $(n+1)$:
$n(n-1) = \frac{n+2}{2}$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$2n(n-1) = n+2$
$2n^2 - 2n = n+2$
$2n^2 - 3n - 2 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$
$n = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$
Находим два корня:
$n_1 = \frac{3+5}{4} = 2$
$n_2 = \frac{3-5}{4} = -0.5$

Проверим корни по ОДЗ ($n \ge 2$, $n$ — целое).
Корень $n_1 = 2$ удовлетворяет условиям.
Корень $n_2 = -0.5$ не является целым числом, поэтому отбрасывается.
Единственное решение — $n=2$.

Ответ: $n=2$

2. Решить неравенство $(n-3)P_{n+2} < P_{n+1}$

Для решения неравенства $(n - 3)P_{n+2} < P_{n+1}$ сначала определим его компоненты и область допустимых значений.

$P_k$ — это число перестановок из $k$ элементов, которое вычисляется по формуле $P_k = k!$.

Таким образом, неравенство можно переписать в виде:

$(n - 3)(n+2)! < (n+1)!$

Область допустимых значений (ОДЗ)

Выражение $k!$ определено для целых неотрицательных чисел $k$. Следовательно, должны выполняться следующие условия:

1. $n+2 \ge 0 \Rightarrow n \ge -2$

2. $n+1 \ge 0 \Rightarrow n \ge -1$

Поскольку $n$ должно быть целым числом, объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $n$ — целое число и $n \ge -1$.

Теперь рассмотрим все возможные случаи для множителя $(n-3)$.

Случай 1: $n - 3 < 0$

Это условие выполняется при $n < 3$. С учетом ОДЗ, рассматриваем целые значения $n \in \{-1, 0, 1, 2\}$.

При этих значениях $n$ множитель $(n-3)$ отрицателен. Факториалы $(n+2)!$ и $(n+1)!$ всегда положительны. Таким образом, левая часть неравенства $(n - 3)(n+2)!$ является произведением отрицательного и положительного числа, то есть отрицательна. Правая часть $(n+1)!$ положительна.

Неравенство "отрицательное число < положительное число" всегда истинно. Следовательно, все значения $n$ из этого случая являются решениями.

Решения в этом случае: $n \in \{-1, 0, 1, 2\}$.

Случай 2: $n - 3 = 0$

Это условие выполняется при $n = 3$. Это значение входит в ОДЗ.

Подставим $n=3$ в исходное неравенство:

$(3 - 3)P_{3+2} < P_{3+1}$

$0 \cdot P_5 < P_4$

$0 < 4!$

$0 < 24$

Это верное неравенство, значит $n=3$ также является решением.

Случай 3: $n - 3 > 0$

Это условие выполняется при $n > 3$. С учетом ОДЗ, рассматриваем целые значения $n \ge 4$.

Преобразуем неравенство, используя свойство факториала $(n+2)! = (n+2)(n+1)!$:

$(n - 3)(n+2)(n+1)! < (n+1)!$

Поскольку $(n+1)! > 0$ для всех $n$ из ОДЗ, мы можем разделить обе части неравенства на $(n+1)!$ без изменения знака неравенства:

$(n - 3)(n+2) < 1$

Раскроем скобки и упростим:

$n^2 + 2n - 3n - 6 < 1$

$n^2 - n - 7 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $n^2 - n - 7 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 1 + 28 = 29$.

Корни: $n_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{29}}{2}$.

Приблизительные значения корней: $n_1 \approx -2.195$ и $n_2 \approx 3.195$.

Решением неравенства $n^2 - n - 7 < 0$ является интервал $\frac{1 - \sqrt{29}}{2} < n < \frac{1 + \sqrt{29}}{2}$, или примерно $-2.195 < n < 3.195$.

Теперь найдем целые решения, удовлетворяющие условиям этого случая: $n \ge 4$ и $-2.195 < n < 3.195$. Пересечение этих множеств пусто, то есть в этом случае решений нет.

Итог

Объединяя решения из всех рассмотренных случаев, получаем полный набор решений:

Из случая 1: $n \in \{-1, 0, 1, 2\}$

Из случая 2: $n = 3$

Из случая 3: нет решений

Итоговый набор решений: $\{-1, 0, 1, 2, 3\}$.

Ответ: $n \in \{-1, 0, 1, 2, 3\}$.