Номер 8, страница 192 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 8, страница 192.

8. Что такое треугольник Паскаля?

Треугольник Паскаля — это бесконечная числовая таблица треугольной формы, в которой расположены биномиальные коэффициенты. Он назван в честь французского математика Блеза Паскаля, хотя был известен задолго до него в Индии, Иране, Китае и других странах. Треугольник демонстрирует множество интересных математических свойств и находит применение в комбинаторике, теории вероятностей и алгебре.

Определение и построение

Построить треугольник Паскаля очень просто:

• Вершина треугольника (нулевая строка) содержит одно число — 1.
• Каждая следующая строка также начинается и заканчивается единицами.
• Каждый из остальных элементов строки получается как сумма двух чисел, расположенных непосредственно над ним в предыдущей строке.

Вот как выглядят первые несколько строк треугольника (нумерация строк, n, начинается с нуля):

n=0: 1n=1: 1 1n=2: 1 2 1n=3: 1 3 3 1n=4: 1 4 6 4 1n=5: 1 5 10 10 5 1n=6: 1 6 15 20 15 6 1

Это правило построения математически выражается через тождество Паскаля: $C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k$, где $C_n^k$ — число в n-й строке на k-м месте.

Связь с биномиальными коэффициентами

Главное свойство треугольника Паскаля заключается в том, что его элементы являются биномиальными коэффициентами. Число, стоящее в n-й строке на k-м месте (нумерация с нуля), равно биномиальному коэффициенту $C_n^k$, который также обозначается как $\binom{n}{k}$ и вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Этот коэффициент показывает, сколькими способами можно выбрать $k$ элементов из множества, содержащего $n$ элементов.

Благодаря этому свойству, треугольник Паскаля можно использовать для быстрого возведения двучлена (бинома) в степень. Коэффициенты в разложении выражения $(a+b)^n$ — это в точности числа из n-й строки треугольника.

Например:

• $(a+b)^2 = 1a^2 + 2ab + 1b^2$ (коэффициенты 1, 2, 1 — строка n=2)
• $(a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 1b^3$ (коэффициенты 1, 3, 3, 1 — строка n=3)
• $(a+b)^4 = 1a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + 1b^4$ (коэффициенты 1, 4, 6, 4, 1 — строка n=4)

Другие интересные свойства

Треугольник Паскаля обладает множеством других закономерностей:

• Симметрия: Треугольник симметричен относительно своей вертикальной оси. Это отражает свойство биномиальных коэффициентов: $C_n^k = C_n^{n-k}$.
• Сумма элементов строки: Сумма всех чисел, расположенных в n-й строке, равна $2^n$. Например, для n=4 сумма равна $1+4+6+4+1 = 16 = 2^4$.
• Степени числа 11: Если рассматривать числа в строке как цифры одного многозначного числа, то для первых пяти строк получаются степени числа 11: $11^0=1$, $11^1=11$, $11^2=121$, $11^3=1331$, $11^4=14641$. Для следующих строк это правило также работает, если выполнять переносы разрядов (например, для n=5: 1, 5, 10, 10, 5, 1 преобразуется в 161051, что равно $11^5$).
• Числа Фибоначчи: Если суммировать числа вдоль "восходящих" диагоналей, то получатся числа из последовательности Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8, ...).

Ответ: Треугольник Паскаля — это геометрическое представление биномиальных коэффициентов в виде треугольной таблицы чисел. Он строится по простому рекуррентному правилу: каждое число равно сумме двух чисел, стоящих над ним, а по бокам треугольника расположены единицы. Его основное применение — нахождение коэффициентов при разложении бинома вида $(a+b)^n$ в многочлен, но также он наглядно демонстрирует множество других глубоких математических закономерностей и связей между различными областями математики, такими как комбинаторика и теория чисел.