Номер 6, страница 192 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Проверь себя! - номер 6, страница 192.

Условие.

6. Сколько существует трёхзначных цифровых кодов,
в которых нет одинаковых цифр?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи необходимо найти количество способов составить трёхзначный код из 10 цифр (от 0 до 9) так, чтобы все цифры в коде были различны. Это задача из области комбинаторики, которую можно решить с помощью правила умножения.

Рассмотрим поочерёдно каждую позицию в трёхзначном коде.
1. Первая цифра: На первую позицию можно поставить любую из 10 цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Следовательно, у нас есть 10 вариантов.
2. Вторая цифра: Для второй позиции можно выбрать любую из оставшихся цифр. Поскольку одна цифра уже использована, а по условию цифры повторяться не могут, у нас остаётся $10 - 1 = 9$ вариантов.
3. Третья цифра: Для третьей позиции можно выбрать любую из цифр, не использованных на первых двух позициях. Так как две разные цифры уже заняты, остаётся $10 - 2 = 8$ вариантов.

Чтобы найти общее количество возможных кодов, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции:
$N = 10 \times 9 \times 8 = 720$.

Этот результат также можно получить, используя формулу для нахождения числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$, которое обозначается $A_n^k$. В нашем случае $n=10$ (общее количество цифр) и $k=3$ (количество цифр в коде).
$A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$.

Ответ: 720