Номер 3, страница 193 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Проверь себя! - номер 3, страница 193.

Условие.

3. Шифр некоторого сейфа образуется из двух чисел. Первое, трёхзначное число, составляется из цифр 1, 2, 3, 4, 5 (каждая цифра встречается не более одного раза); второе, пятизначное число, записывается с помощью цифр 6, 7, 8. Сколько различных шифров можно использовать в этом сейфе?

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи необходимо определить количество возможных комбинаций для каждой части шифра по отдельности, а затем, согласно правилу произведения в комбинаторике, перемножить полученные значения. Шифр состоит из двух независимых частей: первого трёхзначного числа и второго пятизначного числа.

Вычисление количества вариантов для первого числа.

Первое число является трёхзначным и составляется из набора цифр {1, 2, 3, 4, 5}. Важным условием является то, что каждая цифра может быть использована не более одного раза (без повторений). Это классическая задача на нахождение числа размещений без повторений.

Для первой цифры числа есть 5 возможных вариантов выбора.
После выбора первой цифры, для второй остаётся $5-1=4$ варианта.
Для третьей цифры, соответственно, остаётся $4-1=3$ варианта.

Общее количество комбинаций для первого числа ($N_1$) равно произведению числа вариантов для каждой позиции:
$N_1 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$
Это же значение можно получить по формуле для числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
$N_1 = A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{120}{2} = 60$
Следовательно, существует 60 различных вариантов для первого числа.

Вычисление количества вариантов для второго числа.

Второе число является пятизначным и записывается с помощью набора цифр {6, 7, 8}. Так как в условии не указано ограничение на повторное использование цифр, а количество позиций в числе (5) больше количества доступных цифр (3), мы делаем вывод, что цифры могут повторяться. Это задача на нахождение числа размещений с повторениями.

На каждой из пяти позиций в числе может стоять любая из трёх доступных цифр.

Количество комбинаций для второго числа ($N_2$) вычисляется как произведение числа вариантов для каждой из пяти позиций:
$N_2 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^5 = 243$
Следовательно, существует 243 различных варианта для второго числа.

Вычисление общего количества шифров.

Общее количество различных шифров равно произведению количества вариантов для первой и второй частей шифра.
$N_{общ} = N_1 \cdot N_2 = 60 \cdot 243 = 14580$

Ответ: 14580