Номер 512, страница 200 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 6. Элементы теории вероятностей. Параграф 1. Вероятность события - номер 512, страница 200.

Условие.

512. Пусть $A$ и $B$ — произвольные события, которые могут произойти в одном опыте. Записать следующие события:

1) произошли оба данных события; $A \cap B$

2) произошло по крайней мере одно из событий; $A \cup B$

3) произошло только одно из двух данных событий; $(A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$

4) ни одно из событий не произошло; $\overline{A} \cap \overline{B}$

5) произошло только событие B. $\overline{A} \cap B$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для описания составных событий, образованных из событий $A$ и $B$, воспользуемся основными операциями алгебры событий:

• $A \cup B$ — объединение (сумма) событий. Означает, что произошло хотя бы одно из событий: $A$ или $B$.
• $A \cap B$ — пересечение (произведение) событий. Означает, что произошли оба события: и $A$, и $B$.
• $\bar{A}$ — противоположное событие. Означает, что событие $A$ не произошло.
• $A \setminus B$ — разность событий. Означает, что событие $A$ произошло, а событие $B$ не произошло. Разность можно выразить через пересечение: $A \setminus B = A \cap \bar{B}$.

1) произошли оба данных события;
Событие, при котором происходят и событие $A$, и событие $B$, является их пересечением (произведением).
Ответ: $A \cap B$

2) произошло по крайней мере одно из событий;
Событие, при котором происходит либо событие $A$, либо событие $B$, либо оба вместе, является их объединением (суммой).
Ответ: $A \cup B$

3) произошло только одно из двух данных событий;
Это событие означает, что произошло либо событие $A$, но не $B$ (что соответствует разности $A \setminus B$), либо событие $B$, но не $A$ (разность $B \setminus A$). Поскольку должно произойти одно из этих двух взаимоисключающих событий, итоговое событие является их объединением.
Ответ: $(A \setminus B) \cup (B \setminus A)$

4) ни одно из событий не произошло;
Это означает, что не произошло событие $A$ ($\bar{A}$) и одновременно не произошло событие $B$ ($\bar{B}$). Это пересечение противоположных событий. По законам де Моргана, это также эквивалентно событию, противоположному объединению $A$ и $B$: $\overline{A \cup B}$.
Ответ: $\bar{A} \cap \bar{B}$

5) произошло только событие B.
Это означает, что событие $B$ произошло, а событие $A$ — нет. Такое событие представляет собой разность событий $B$ и $A$.
Ответ: $B \setminus A$