Номер 517, страница 200 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 6. Элементы теории вероятностей. Параграф 1. Вероятность события - номер 517, страница 200.

Условие.

517. Брошены три игральные кости. Какова вероятность того, что:

1) на всех трёх костях выпало одинаковое количество очков;

2) сумма очков на всех костях равна 4;

3) сумма очков на всех костях равна 5?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. При броске одной игральной кости может выпасть одно из шести чисел: 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Поскольку бросают три кости, и результаты их бросков являются независимыми событиями, общее число всех возможных элементарных исходов равно произведению числа исходов для каждой кости.

Общее число элементарных исходов $N$ (упорядоченных троек чисел от 1 до 6) равно $6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216$.

Вероятность события $A$ вычисляется по формуле: $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятствующих исходов, а $N$ — общее число исходов.

1) на всех трёх костях выпало одинаковое количество очков;

Пусть событие $A$ заключается в том, что на всех трёх костях выпало одинаковое количество очков.

Благоприятствующими этому событию являются следующие исходы: (1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (4, 4, 4), (5, 5, 5), (6, 6, 6).

Таким образом, число благоприятствующих исходов $m_1 = 6$.

Вероятность этого события равна:$P(A) = \frac{m_1}{N} = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}$.

Ответ: $\frac{1}{36}$

2) сумма очков на всех костях равна 4;

Пусть событие $B$ заключается в том, что сумма очков на всех костях равна 4.

На каждой кости должно выпасть как минимум 1 очко. Нам нужно найти все упорядоченные тройки натуральных чисел $(d_1, d_2, d_3)$, где $d_i \ge 1$, которые в сумме дают 4.

Единственный способ представить число 4 в виде суммы трёх натуральных чисел (не учитывая порядок слагаемых) — это $1 + 1 + 2 = 4$.

Этой комбинации соответствуют следующие упорядоченные наборы (исходы), которые являются перестановками с повторениями: (1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1).

Число благоприятствующих исходов $m_2 = 3$.

Вероятность этого события равна:$P(B) = \frac{m_2}{N} = \frac{3}{216} = \frac{1}{72}$.

Ответ: $\frac{1}{72}$

3) сумма очков на всех костях равна 5?

Пусть событие $C$ заключается в том, что сумма очков на всех костях равна 5.

Найдём все способы представить число 5 в виде суммы трёх натуральных чисел (не меньше 1). Не учитывая порядок, возможны две такие комбинации:
1. $1 + 1 + 3 = 5$. Этому соответствуют 3 упорядоченных исхода: (1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1).
2. $1 + 2 + 2 = 5$. Этому также соответствуют 3 упорядоченных исхода: (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1).

Общее число благоприятствующих исходов $m_3$ равно сумме исходов для обеих комбинаций: $m_3 = 3 + 3 = 6$.

Вероятность этого события равна:$P(C) = \frac{m_3}{N} = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}$.

Ответ: $\frac{1}{36}$