Номер 519, страница 201 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 6. Элементы теории вероятностей. Параграф 1. Вероятность события - номер 519, страница 201.

Условие.

519. В лотерее участвует 15 билетов, среди которых 3 выигрышных. Наугад вынуты 2 билета. Какова вероятность того, что:

1) оба вынутых билета выигрышные;

2) только один билет выигрышный;

3) выигрышного билета не оказалось?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию A.

В лотерее участвует 15 билетов, из которых 3 выигрышных и $15 - 3 = 12$ невыигрышных. Наугад вынимают 2 билета. Общее число способов выбрать 2 билета из 15 равно числу сочетаний из 15 по 2:

$n = C_{15}^2 = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15!}{2! \cdot 13!} = \frac{14 \cdot 15}{2 \cdot 1} = 105$.

Таким образом, общее число равновозможных исходов $n=105$.

1) оба вынутых билета выигрышные

Событие заключается в том, что из 3 выигрышных билетов выбрано 2. Число благоприятствующих этому событию исходов $m_1$ равно числу способов выбрать 2 выигрышных билета из 3:

$m_1 = C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = 3$.

Вероятность того, что оба билета выигрышные, равна:

$P_1 = \frac{m_1}{n} = \frac{3}{105} = \frac{1}{35}$.

Ответ: $\frac{1}{35}$

2) только один билет выигрышный

Это событие означает, что был выбран 1 выигрышный билет и 1 невыигрышный. Число способов выбрать 1 выигрышный билет из 3 равно $C_3^1$. Число способов выбрать 1 невыигрышный билет из 12 равно $C_{12}^1$.

Число благоприятствующих исходов $m_2$ по правилу произведения равно:

$m_2 = C_3^1 \cdot C_{12}^1 = \frac{3!}{1! \cdot 2!} \cdot \frac{12!}{1! \cdot 11!} = 3 \cdot 12 = 36$.

Вероятность того, что только один билет выигрышный, равна:

$P_2 = \frac{m_2}{n} = \frac{36}{105} = \frac{12}{35}$.

Ответ: $\frac{12}{35}$

3) выигрышного билета не оказалось

Это событие означает, что оба выбранных билета — невыигрышные. Число благоприятствующих исходов $m_3$ равно числу способов выбрать 2 невыигрышных билета из 12:

$m_3 = C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2! \cdot 10!} = \frac{11 \cdot 12}{2} = 66$.

Вероятность того, что выигрышного билета не оказалось, равна:

$P_3 = \frac{m_3}{n} = \frac{66}{105} = \frac{22}{35}$.

Ответ: $\frac{22}{35}$