Номер 521, страница 201 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 6. Элементы теории вероятностей. Параграф 1. Вероятность события - номер 521, страница 201.

Условие.

521. Имеются две урны: первая содержит 1 белый, 3 чёрных и 4 красных шара, вторая — 3 белых, 2 чёрных и 3 красных шара. Из каждой урны наудачу извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что цвета вынутых шаров совпадут.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы цвета вынутых шаров совпали, необходимо, чтобы из обеих урн были извлечены либо два белых шара, либо два чёрных, либо два красных. Эти три события являются несовместными, поэтому искомая вероятность будет равна сумме их вероятностей.

Сначала определим общее количество шаров в каждой урне.

В первой урне находится: $1 \text{ белый} + 3 \text{ чёрных} + 4 \text{ красных} = 8$ шаров.

Во второй урне находится: $3 \text{ белых} + 2 \text{ чёрных} + 3 \text{ красных} = 8$ шаров.

Теперь рассчитаем вероятность для каждого случая совпадения цветов. Так как выбор шара из каждой урны — это независимые события, их вероятности перемножаются.

1. Вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Вероятность вынуть белый шар из первой урны: $P_{1Б} = \frac{1}{8}$.

Вероятность вынуть белый шар из второй урны: $P_{2Б} = \frac{3}{8}$.

Вероятность того, что оба шара белые: $P(ББ) = P_{1Б} \cdot P_{2Б} = \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{64}$.

2. Вероятность того, что оба шара окажутся чёрными.

Вероятность вынуть чёрный шар из первой урны: $P_{1Ч} = \frac{3}{8}$.

Вероятность вынуть чёрный шар из второй урны: $P_{2Ч} = \frac{2}{8}$.

Вероятность того, что оба шара чёрные: $P(ЧЧ) = P_{1Ч} \cdot P_{2Ч} = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{8} = \frac{6}{64}$.

3. Вероятность того, что оба шара окажутся красными.

Вероятность вынуть красный шар из первой урны: $P_{1К} = \frac{4}{8}$.

Вероятность вынуть красный шар из второй урны: $P_{2К} = \frac{3}{8}$.

Вероятность того, что оба шара красные: $P(КК) = P_{1К} \cdot P_{2К} = \frac{4}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{12}{64}$.

Суммарная вероятность того, что цвета вынутых шаров совпадут, равна сумме вероятностей этих трёх несовместных событий:

$P(\text{совпадение}) = P(ББ) + P(ЧЧ) + P(КК) = \frac{3}{64} + \frac{6}{64} + \frac{12}{64} = \frac{3+6+12}{64} = \frac{21}{64}$.

Ответ: $\frac{21}{64}$