Номер 520, страница 201 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 6. Элементы теории вероятностей. Параграф 1. Вероятность события - номер 520, страница 201.

Условие.

520. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность того, что на первой игральной кости число очков будет больше, чем на второй?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи используется классическое определение вероятности. Вероятность события вычисляется по формуле $P = \frac{M}{N}$, где $N$ — это общее число всех возможных элементарных исходов, а $M$ — число исходов, благоприятствующих данному событию.

При бросании двух игральных костей каждая из них может выпасть одной из шести граней (от 1 до 6). Общее число всех возможных комбинаций выпавших очков равно произведению числа возможных исходов для каждой кости: $N = 6 \times 6 = 36$.

Нам нужно найти вероятность события, при котором число очков на первой кости (обозначим его $k_1$) будет больше, чем число очков на второй кости (обозначим его $k_2$). То есть, мы ищем вероятность выполнения условия $k_1 > k_2$.

Все 36 возможных исходов можно разделить на три непересекающихся случая: 1) число очков на первой кости больше, чем на второй ($k_1 > k_2$); 2) число очков на второй кости больше, чем на первой ($k_1 < k_2$); 3) числа очков на обеих костях равны ($k_1 = k_2$).

Сначала найдем число исходов, когда на обеих костях выпадает одинаковое количество очков ($k_1 = k_2$). Это следующие пары: (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6). Таких исходов 6.

Оставшееся количество исходов, когда числа очков не равны, составляет $36 - 6 = 30$.

Эти 30 исходов делятся поровну между двумя оставшимися случаями: $k_1 > k_2$ и $k_1 < k_2$. Это следует из симметрии: для каждой пары $(a, b)$, где $a \ne b$, существует и пара $(b, a)$. В одной из них первое число больше, а в другой — второе. Поэтому число исходов, когда очки на первой кости больше, чем на второй, равно половине от 30.

Число благоприятных исходов $M$ равно: $M = \frac{36 - 6}{2} = \frac{30}{2} = 15$.

Теперь можно вычислить искомую вероятность: $P(k_1 > k_2) = \frac{M}{N} = \frac{15}{36}$.

Сократив дробь на 3, получим окончательный результат: $P = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.

Ответ: $\frac{5}{12}$