Номер 516, страница 200 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 1. Вероятность события. Глава 6. Элементы теории вероятностей - номер 516, страница 200.
№516 (с. 200)
Условие. №516 (с. 200)
скриншот условия

516. Среди 100 электроламп 5 испорченных. Какова вероятность того, что выбранные наугад 3 лампы окажутся исправными?
Решение 1. №516 (с. 200)

Решение 2. №516 (с. 200)

Решение 3. №516 (с. 200)
Для решения задачи определим общее количество ламп и количество исправных ламп. Дано, что всего 100 электроламп, из них 5 испорченных. Следовательно, количество исправных ламп составляет:
$100 - 5 = 95$
Нужно найти вероятность того, что 3 случайно выбранные лампы окажутся исправными. Эту задачу можно решить, используя классическое определение вероятности $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию A.
1. Нахождение общего числа исходов (n)
Общее число исходов — это количество способов выбрать 3 лампы из 100 имеющихся. Поскольку порядок выбора не имеет значения, мы используем формулу для сочетаний $C_k^j = \frac{k!}{j!(k-j)!}$.
$n = C_{100}^3 = \frac{100!}{3!(100-3)!} = \frac{100!}{3!97!} = \frac{100 \cdot 99 \cdot 98}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 50 \cdot 33 \cdot 98 = 161700$
Таким образом, существует 161700 способов выбрать 3 лампы из 100.
2. Нахождение числа благоприятных исходов (m)
Благоприятный исход — это выбор 3 исправных ламп. У нас есть 95 исправных ламп, поэтому число способов выбрать 3 из них равно:
$m = C_{95}^3 = \frac{95!}{3!(95-3)!} = \frac{95!}{3!92!} = \frac{95 \cdot 94 \cdot 93}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 95 \cdot 47 \cdot 31 = 138415$
Таким образом, существует 138415 способов выбрать 3 исправные лампы.
3. Вычисление вероятности
Теперь мы можем найти вероятность, разделив число благоприятных исходов на общее число исходов:
$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{138415}{161700}$
Для упрощения вычислений можно было сразу работать с отношением формул:
$P(A) = \frac{C_{95}^3}{C_{100}^3} = \frac{\frac{95 \cdot 94 \cdot 93}{3 \cdot 2 \cdot 1}}{\frac{100 \cdot 99 \cdot 98}{3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{95 \cdot 94 \cdot 93}{100 \cdot 99 \cdot 98}$
Этот же результат получается при расчете вероятности последовательного извлечения трех исправных ламп:
$P(A) = P(\text{1-я исправна}) \cdot P(\text{2-я исправна | 1-я исправна}) \cdot P(\text{3-я исправна | 1-я и 2-я исправны})$
$P(A) = \frac{95}{100} \cdot \frac{94}{99} \cdot \frac{93}{98}$
Сократим полученное выражение:
$P(A) = \frac{19}{20} \cdot \frac{94}{99} \cdot \frac{93}{98} = \frac{19}{20} \cdot \frac{47}{99} \cdot \frac{93}{49} = \frac{19}{20} \cdot \frac{47}{33} \cdot \frac{31}{49}$
Перемножим числители и знаменатели:
$P(A) = \frac{19 \cdot 47 \cdot 31}{20 \cdot 33 \cdot 49} = \frac{27683}{32340}$
Для получения практического представления о величине вероятности, можно перевести эту дробь в десятичный формат:
$P(A) = \frac{27683}{32340} \approx 0.856$
Ответ: Вероятность того, что выбранные 3 лампы окажутся исправными, равна $\frac{27683}{32340}$ (приблизительно 0,856 или 85,6%).
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 516 расположенного на странице 200 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №516 (с. 200), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.