Номер 516, страница 200 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 6. Элементы теории вероятностей. Параграф 1. Вероятность события - номер 516, страница 200.

Условие.

516. Среди 100 электроламп 5 испорченных. Какова вероятность того, что выбранные наугад 3 лампы окажутся исправными?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи определим общее количество ламп и количество исправных ламп. Дано, что всего 100 электроламп, из них 5 испорченных. Следовательно, количество исправных ламп составляет:

$100 - 5 = 95$

Нужно найти вероятность того, что 3 случайно выбранные лампы окажутся исправными. Эту задачу можно решить, используя классическое определение вероятности $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию A.

1. Нахождение общего числа исходов (n)

Общее число исходов — это количество способов выбрать 3 лампы из 100 имеющихся. Поскольку порядок выбора не имеет значения, мы используем формулу для сочетаний $C_k^j = \frac{k!}{j!(k-j)!}$.

$n = C_{100}^3 = \frac{100!}{3!(100-3)!} = \frac{100!}{3!97!} = \frac{100 \cdot 99 \cdot 98}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 50 \cdot 33 \cdot 98 = 161700$

Таким образом, существует 161700 способов выбрать 3 лампы из 100.

2. Нахождение числа благоприятных исходов (m)

Благоприятный исход — это выбор 3 исправных ламп. У нас есть 95 исправных ламп, поэтому число способов выбрать 3 из них равно:

$m = C_{95}^3 = \frac{95!}{3!(95-3)!} = \frac{95!}{3!92!} = \frac{95 \cdot 94 \cdot 93}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 95 \cdot 47 \cdot 31 = 138415$

Таким образом, существует 138415 способов выбрать 3 исправные лампы.

3. Вычисление вероятности

Теперь мы можем найти вероятность, разделив число благоприятных исходов на общее число исходов:

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{138415}{161700}$

Для упрощения вычислений можно было сразу работать с отношением формул:

$P(A) = \frac{C_{95}^3}{C_{100}^3} = \frac{\frac{95 \cdot 94 \cdot 93}{3 \cdot 2 \cdot 1}}{\frac{100 \cdot 99 \cdot 98}{3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{95 \cdot 94 \cdot 93}{100 \cdot 99 \cdot 98}$

Этот же результат получается при расчете вероятности последовательного извлечения трех исправных ламп:

$P(A) = P(\text{1-я исправна}) \cdot P(\text{2-я исправна | 1-я исправна}) \cdot P(\text{3-я исправна | 1-я и 2-я исправны})$

$P(A) = \frac{95}{100} \cdot \frac{94}{99} \cdot \frac{93}{98}$

Сократим полученное выражение:

$P(A) = \frac{19}{20} \cdot \frac{94}{99} \cdot \frac{93}{98} = \frac{19}{20} \cdot \frac{47}{99} \cdot \frac{93}{49} = \frac{19}{20} \cdot \frac{47}{33} \cdot \frac{31}{49}$

Перемножим числители и знаменатели:

$P(A) = \frac{19 \cdot 47 \cdot 31}{20 \cdot 33 \cdot 49} = \frac{27683}{32340}$

Для получения практического представления о величине вероятности, можно перевести эту дробь в десятичный формат:

$P(A) = \frac{27683}{32340} \approx 0.856$

Ответ: Вероятность того, что выбранные 3 лампы окажутся исправными, равна $\frac{27683}{32340}$ (приблизительно 0,856 или 85,6%).