Страница 200 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

510. Выяснить, являются ли события $A$ и $B$ несовместными, если:

1) $A$ — появление туза, $B$ — появление дамы при взятии одной карты из колоды карт;

2) $A$ — появление туза, $B$ — появление карты пиковой масти при взятии одной карты из колоды карт;

3) $A$ — выпадение четырёх очков, $B$ — выпадение чётного числа очков при одном бросании игральной кости;

4) $A$ — выпадение четырёх очков, $B$ — выпадение нечётного числа очков при одном бросании игральной кости.

Два события называются несовместными, если их одновременное наступление в результате одного и того же испытания невозможно. То есть, не существует исхода, который бы благоприятствовал обоим событиям. Если $A$ и $B$ — два события, то они несовместны, если их пересечение является пустым множеством: $A \cap B = \emptyset$.

При извлечении одной карты из колоды она не может быть одновременно и тузом, и дамой. Это два разных достоинства карт, и одна карта не может обладать ими обоими. Если произошло событие A (вытащили туза), то событие B (вытащили даму) произойти не могло, и наоборот. Таким образом, события A и B не могут наступить одновременно.

Ответ: события A и B являются несовместными.

Эти события могут произойти одновременно. В стандартной колоде существует карта "пиковый туз". Если из колоды будет извлечена именно эта карта, то она будет и тузом (событие A), и картой пиковой масти (событие B). Следовательно, существует исход, благоприятствующий обоим событиям.

Ответ: события A и B не являются несовместными (являются совместными).

Событие A означает выпадение грани с числом 4. Событие B означает выпадение одной из граней с чётными числами {2, 4, 6}. Поскольку число 4 является чётным, то при выпадении четырёх очков одновременно наступают и событие A, и событие B. Таким образом, эти события могут произойти одновременно.

Ответ: события A и B не являются несовместными (являются совместными).

Событие A означает выпадение грани с числом 4. Событие B означает выпадение одной из граней с нечётными числами {1, 3, 5}. Число 4 не является нечётным, поэтому эти два события не могут произойти одновременно. Если выпало 4 очка, то не могло выпасть нечётное число очков, и наоборот. Пересечение множеств исходов для этих событий пусто.

Ответ: события A и B являются несовместными.

511. Установить, что является событием, противоположным событию:

1) сегодня первый урок — физика;

2) экзамен сдан на «отлично»;

3) на игральной кости выпало меньше пяти очков;

4) хотя бы одна пуля при трёх выстрелах попала в цель.

Противоположным событием (обозначается как $\bar{A}$) для некоторого события $A$ является событие, которое наступает в том и только в том случае, когда не наступает событие $A$. Иными словами, если в результате испытания произошло событие $A$, то событие $\bar{A}$ не произошло, и наоборот. Сумма вероятностей события $A$ и противоположного ему события $\bar{A}$ всегда равна единице: $P(A) + P(\bar{A}) = 1$.

1) сегодня первый урок — физика;

Пусть событие $A$ заключается в том, что «сегодня первый урок — физика». Противоположным событием $\bar{A}$ будет то, что сегодня первый урок — это любой другой предмет, то есть не физика.
Ответ: Противоположное событие — «сегодня первый урок — не физика».

2) экзамен сдан на «отлично»;

Пусть событие $B$ — «экзамен сдан на «отлично»». Противоположное событие $\bar{B}$ означает, что экзамен не сдан на «отлично». Это включает в себя все остальные возможные оценки: «хорошо», «удовлетворительно» или «неудовлетворительно».
Ответ: Противоположное событие — «экзамен сдан не на «отлично»».

3) на игральной кости выпало меньше пяти очков;

Пусть событие $C$ — «на игральной кости выпало меньше пяти очков». Это означает, что число выпавших очков принадлежит множеству $\{1, 2, 3, 4\}$. Противоположное событие $\bar{C}$ — это когда условие «меньше пяти очков» не выполняется. Это равносильно тому, что выпало «не меньше пяти очков» или «пять или более очков». На стандартной игральной кости это означает, что выпало 5 или 6 очков.
Ответ: Противоположное событие — «на игральной кости выпало не меньше пяти очков» (или «выпало 5 или 6 очков»).

4) хотя бы одна пуля при трёх выстрелах попала в цель.

Пусть событие $D$ — «хотя бы одна пуля при трёх выстрелах попала в цель». Выражение «хотя бы одна» означает «одна или больше». То есть, могло быть одно, два или все три попадания. Противоположным событием $\bar{D}$ является ситуация, когда не было ни одного попадания.
Ответ: Противоположное событие — «ни одна пуля при трёх выстрелах не попала в цель» (или «все три выстрела были мимо цели»).

512. Пусть $A$ и $B$ — произвольные события, которые могут произойти в одном опыте. Записать следующие события:

1) произошли оба данных события; $A \cap B$

2) произошло по крайней мере одно из событий; $A \cup B$

3) произошло только одно из двух данных событий; $(A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$

4) ни одно из событий не произошло; $\overline{A} \cap \overline{B}$

5) произошло только событие B. $\overline{A} \cap B$

Для описания составных событий, образованных из событий $A$ и $B$, воспользуемся основными операциями алгебры событий:

• $A \cup B$ — объединение (сумма) событий. Означает, что произошло хотя бы одно из событий: $A$ или $B$.
• $A \cap B$ — пересечение (произведение) событий. Означает, что произошли оба события: и $A$, и $B$.
• $\bar{A}$ — противоположное событие. Означает, что событие $A$ не произошло.
• $A \setminus B$ — разность событий. Означает, что событие $A$ произошло, а событие $B$ не произошло. Разность можно выразить через пересечение: $A \setminus B = A \cap \bar{B}$.

1) произошли оба данных события;
Событие, при котором происходят и событие $A$, и событие $B$, является их пересечением (произведением).
Ответ: $A \cap B$

2) произошло по крайней мере одно из событий;
Событие, при котором происходит либо событие $A$, либо событие $B$, либо оба вместе, является их объединением (суммой).
Ответ: $A \cup B$

3) произошло только одно из двух данных событий;
Это событие означает, что произошло либо событие $A$, но не $B$ (что соответствует разности $A \setminus B$), либо событие $B$, но не $A$ (разность $B \setminus A$). Поскольку должно произойти одно из этих двух взаимоисключающих событий, итоговое событие является их объединением.
Ответ: $(A \setminus B) \cup (B \setminus A)$

4) ни одно из событий не произошло;
Это означает, что не произошло событие $A$ ($\bar{A}$) и одновременно не произошло событие $B$ ($\bar{B}$). Это пересечение противоположных событий. По законам де Моргана, это также эквивалентно событию, противоположному объединению $A$ и $B$: $\overline{A \cup B}$.
Ответ: $\bar{A} \cap \bar{B}$

5) произошло только событие B.
Это означает, что событие $B$ произошло, а событие $A$ — нет. Такое событие представляет собой разность событий $B$ и $A$.
Ответ: $B \setminus A$

513. Какова вероятность выпадения числа, кратного 3, в результате одного подбрасывания игральной кости?

Для нахождения вероятности события воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность $P$ события вычисляется по формуле:

$P = \frac{m}{n}$

где $n$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число элементарных исходов, благоприятствующих событию.

В данном случае, эксперимент состоит в однократном подбрасывании игральной кости. У стандартной игральной кости 6 граней, на которых нанесены числа от 1 до 6. Следовательно, общее число всех возможных исходов $n$ равно 6. Эти исходы: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

$n = 6$

Нас интересует событие, при котором выпадает число, кратное 3. Это означает, что выпавшее число должно делиться на 3 без остатка. Среди всех возможных исходов {1, 2, 3, 4, 5, 6} такими числами являются 3 и 6.

Таким образом, число исходов, благоприятствующих нашему событию, $m$ равно 2.

$m = 2$

Теперь подставим значения $m$ и $n$ в формулу вероятности:

$P = \frac{2}{6}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$P = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

514. Какова вероятность того, что на открытом наугад листе нового отрывного календаря на високосный год окажется пятое число?

Для нахождения вероятности воспользуемся классическим определением: вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов. Формула для вычисления вероятности $P$ выглядит так:

$P = \frac{m}{n}$

где $n$ — это общее число исходов, а $m$ — число благоприятных исходов.

В данном случае, событие — это открытие наугад листа календаря с определенной датой.

1. Найдем общее число возможных исходов ($n$).
По условию, календарь на високосный год. В високосном году 366 дней. Отрывной календарь содержит по одному листу на каждый день. Следовательно, общее количество листов, которые можно открыть, равно 366.Таким образом, $n = 366$.

2. Найдем число благоприятных исходов ($m$).
Благоприятный исход — это открытие листа, на котором указано пятое число месяца. В году 12 месяцев (январь, февраль, март, ..., декабрь). В каждом из этих месяцев есть 5-е число. Значит, всего в году 12 дней, которые являются пятым числом месяца.Таким образом, $m = 12$.

3. Рассчитаем вероятность.
Подставим значения $n$ и $m$ в формулу вероятности:

$P = \frac{12}{366}$

Для получения окончательного ответа необходимо сократить дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 6:

$12 \div 6 = 2$

$366 \div 6 = 61$

Таким образом, искомая вероятность равна:

$P

515. В коробке находится 3 чёрных, 4 белых и 5 красных шаров. Наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар:

1) чёрный;

2) белый;

3) красный;

4) чёрный или белый;

5) чёрный или красный;

6) красный или белый;

7) или чёрный, или белый, или красный;

8) зелёный?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $A$ вычисляется по формуле:

$P(A) = \frac{m}{n}$

где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.

В коробке находятся 3 чёрных, 4 белых и 5 красных шаров. Найдем общее число шаров в коробке, которое и будет общим числом исходов $n$:

$n = 3 + 4 + 5 = 12$

Таким образом, общее число равновозможных исходов при вынимании одного шара равно 12.

1) чёрный

Событие заключается в том, что вынут чёрный шар. Число благоприятствующих этому событию исходов $m$ равно количеству чёрных шаров, то есть $m = 3$.

Вероятность вынуть чёрный шар:

$P = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

2) белый

Событие заключается в том, что вынут белый шар. Число благоприятствующих исходов $m$ равно количеству белых шаров, то есть $m = 4$.

Вероятность вынуть белый шар:

$P = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

3) красный

Событие заключается в том, что вынут красный шар. Число благоприятствующих исходов $m$ равно количеству красных шаров, то есть $m = 5$.

Вероятность вынуть красный шар:

$P = \frac{5}{12}$

Ответ: $\frac{5}{12}$

4) чёрный или белый

Событие заключается в том, что вынут шар чёрного или белого цвета. Число благоприятствующих исходов $m$ равно сумме количеств чёрных и белых шаров: $m = 3 + 4 = 7$.

Вероятность вынуть чёрный или белый шар:

$P = \frac{3 + 4}{12} = \frac{7}{12}$

Ответ: $\frac{7}{12}$

5) чёрный или красный

Событие заключается в том, что вынут шар чёрного или красного цвета. Число благоприятствующих исходов $m$ равно сумме количеств чёрных и красных шаров: $m = 3 + 5 = 8$.

Вероятность вынуть чёрный или красный шар:

$P = \frac{3 + 5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

6) красный или белый

Событие заключается в том, что вынут шар красного или белого цвета. Число благоприятствующих исходов $m$ равно сумме количеств красных и белых шаров: $m = 5 + 4 = 9$.

Вероятность вынуть красный или белый шар:

$P = \frac{5 + 4}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

7) или чёрный, или белый, или красный

Событие заключается в том, что вынут шар одного из этих трёх цветов. Поскольку в коробке есть шары только этих цветов, это достоверное событие. Число благоприятствующих исходов $m$ равно общему количеству шаров: $m = 3 + 4 + 5 = 12$.

Вероятность этого события:

$P = \frac{12}{12} = 1$

Ответ: $1$

8) зелёный

Событие заключается в том, что вынут зелёный шар. В коробке нет зелёных шаров, поэтому число благоприятствующих этому событию исходов $m = 0$. Это невозможное событие.

Вероятность вынуть зелёный шар:

$P = \frac{0}{12} = 0$

Ответ: $0$

516. Среди 100 электроламп 5 испорченных. Какова вероятность того, что выбранные наугад 3 лампы окажутся исправными?

Для решения задачи определим общее количество ламп и количество исправных ламп. Дано, что всего 100 электроламп, из них 5 испорченных. Следовательно, количество исправных ламп составляет:

$100 - 5 = 95$

Нужно найти вероятность того, что 3 случайно выбранные лампы окажутся исправными. Эту задачу можно решить, используя классическое определение вероятности $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию A.

1. Нахождение общего числа исходов (n)

Общее число исходов — это количество способов выбрать 3 лампы из 100 имеющихся. Поскольку порядок выбора не имеет значения, мы используем формулу для сочетаний $C_k^j = \frac{k!}{j!(k-j)!}$.

$n = C_{100}^3 = \frac{100!}{3!(100-3)!} = \frac{100!}{3!97!} = \frac{100 \cdot 99 \cdot 98}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 50 \cdot 33 \cdot 98 = 161700$

Таким образом, существует 161700 способов выбрать 3 лампы из 100.

2. Нахождение числа благоприятных исходов (m)

Благоприятный исход — это выбор 3 исправных ламп. У нас есть 95 исправных ламп, поэтому число способов выбрать 3 из них равно:

$m = C_{95}^3 = \frac{95!}{3!(95-3)!} = \frac{95!}{3!92!} = \frac{95 \cdot 94 \cdot 93}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 95 \cdot 47 \cdot 31 = 138415$

Таким образом, существует 138415 способов выбрать 3 исправные лампы.

3. Вычисление вероятности

Теперь мы можем найти вероятность, разделив число благоприятных исходов на общее число исходов:

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{138415}{161700}$

Для упрощения вычислений можно было сразу работать с отношением формул:

$P(A) = \frac{C_{95}^3}{C_{100}^3} = \frac{\frac{95 \cdot 94 \cdot 93}{3 \cdot 2 \cdot 1}}{\frac{100 \cdot 99 \cdot 98}{3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{95 \cdot 94 \cdot 93}{100 \cdot 99 \cdot 98}$

Этот же результат получается при расчете вероятности последовательного извлечения трех исправных ламп:

$P(A) = P(\text{1-я исправна}) \cdot P(\text{2-я исправна | 1-я исправна}) \cdot P(\text{3-я исправна | 1-я и 2-я исправны})$

$P(A) = \frac{95}{100} \cdot \frac{94}{99} \cdot \frac{93}{98}$

Сократим полученное выражение:

$P(A) = \frac{19}{20} \cdot \frac{94}{99} \cdot \frac{93}{98} = \frac{19}{20} \cdot \frac{47}{99} \cdot \frac{93}{49} = \frac{19}{20} \cdot \frac{47}{33} \cdot \frac{31}{49}$

Перемножим числители и знаменатели:

$P(A) = \frac{19 \cdot 47 \cdot 31}{20 \cdot 33 \cdot 49} = \frac{27683}{32340}$

Для получения практического представления о величине вероятности, можно перевести эту дробь в десятичный формат:

$P(A) = \frac{27683}{32340} \approx 0.856$

Ответ: Вероятность того, что выбранные 3 лампы окажутся исправными, равна $\frac{27683}{32340}$ (приблизительно 0,856 или 85,6%).

517. Брошены три игральные кости. Какова вероятность того, что:

1) на всех трёх костях выпало одинаковое количество очков;

2) сумма очков на всех костях равна 4;

3) сумма очков на всех костях равна 5?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. При броске одной игральной кости может выпасть одно из шести чисел: 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Поскольку бросают три кости, и результаты их бросков являются независимыми событиями, общее число всех возможных элементарных исходов равно произведению числа исходов для каждой кости.

Общее число элементарных исходов $N$ (упорядоченных троек чисел от 1 до 6) равно $6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216$.

Вероятность события $A$ вычисляется по формуле: $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятствующих исходов, а $N$ — общее число исходов.

1) на всех трёх костях выпало одинаковое количество очков;

Пусть событие $A$ заключается в том, что на всех трёх костях выпало одинаковое количество очков.

Благоприятствующими этому событию являются следующие исходы: (1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (4, 4, 4), (5, 5, 5), (6, 6, 6).

Таким образом, число благоприятствующих исходов $m_1 = 6$.

Вероятность этого события равна:$P(A) = \frac{m_1}{N} = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}$.

Ответ: $\frac{1}{36}$

2) сумма очков на всех костях равна 4;

Пусть событие $B$ заключается в том, что сумма очков на всех костях равна 4.

На каждой кости должно выпасть как минимум 1 очко. Нам нужно найти все упорядоченные тройки натуральных чисел $(d_1, d_2, d_3)$, где $d_i \ge 1$, которые в сумме дают 4.

Единственный способ представить число 4 в виде суммы трёх натуральных чисел (не учитывая порядок слагаемых) — это $1 + 1 + 2 = 4$.

Этой комбинации соответствуют следующие упорядоченные наборы (исходы), которые являются перестановками с повторениями: (1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1).

Число благоприятствующих исходов $m_2 = 3$.

Вероятность этого события равна:$P(B) = \frac{m_2}{N} = \frac{3}{216} = \frac{1}{72}$.

Ответ: $\frac{1}{72}$

3) сумма очков на всех костях равна 5?

Пусть событие $C$ заключается в том, что сумма очков на всех костях равна 5.

Найдём все способы представить число 5 в виде суммы трёх натуральных чисел (не меньше 1). Не учитывая порядок, возможны две такие комбинации:
1. $1 + 1 + 3 = 5$. Этому соответствуют 3 упорядоченных исхода: (1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1).
2. $1 + 2 + 2 = 5$. Этому также соответствуют 3 упорядоченных исхода: (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1).

Общее число благоприятствующих исходов $m_3$ равно сумме исходов для обеих комбинаций: $m_3 = 3 + 3 = 6$.

Вероятность этого события равна:$P(C) = \frac{m_3}{N} = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}$.

Ответ: $\frac{1}{36}$

518. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что:

1) сумма очков, выпавших на обеих костях, есть число нечётное;

2) произведение очков, выпавших на обеих костях, есть число чётное;

3) сумма выпавших очков больше 6?

При броске двух стандартных шестигранных игральных костей общее число всех возможных равновероятных исходов составляет $N = 6 \times 6 = 36$. Каждый исход можно представить в виде упорядоченной пары чисел $(d_1, d_2)$, где $d_1$ — количество очков, выпавших на первой кости, а $d_2$ — на второй.

1) сумма очков, выпавших на обеих костях, есть число нечётное

Сумма двух целых чисел является нечётной тогда и только тогда, когда одно из чисел чётное, а другое — нечётное. На каждой игральной кости 3 чётных грани ({2, 4, 6}) и 3 нечётных грани ({1, 3, 5}).

Рассмотрим два взаимоисключающих случая, приводящих к нечётной сумме:

1. На первой кости выпало нечётное число (3 варианта), а на второй — чётное (3 варианта). Число таких исходов равно $3 \times 3 = 9$.
2. На первой кости выпало чётное число (3 варианта), а на второй — нечётное (3 варианта). Число таких исходов равно $3 \times 3 = 9$.

Общее число благоприятных исходов $m$ для этого события равно сумме исходов в этих двух случаях: $m = 9 + 9 = 18$.

Вероятность $P$ события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P = \frac{m}{N} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

2) произведение очков, выпавших на обеих костях, есть число чётное

Произведение двух целых чисел является чётным, если хотя бы один из сомножителей чётный. Удобнее найти вероятность противоположного события — когда произведение нечётно, — а затем вычесть её из единицы.

Произведение нечётно только в том случае, если оба сомножителя нечётны. Количество нечётных исходов для первой кости равно 3, и для второй — также 3. Следовательно, число исходов, при которых на обеих костях выпадают нечётные числа, равно $m_{нечёт} = 3 \times 3 = 9$.

Вероятность того, что произведение будет нечётным, составляет: $P_{нечёт} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

Событие "произведение чётно" является противоположным к событию "произведение нечётно", поэтому его вероятность равна: $P_{чёт} = 1 - P_{нечёт} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

3) сумма выпавших очков больше 6

Найдём количество исходов, при которых сумма очков $S$ на двух костях строго больше 6. Для этого перечислим все комбинации, удовлетворяющие этому условию, сгруппировав их по значению суммы:

• $S=7$: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) — 6 исходов.
• $S=8$: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) — 5 исходов.
• $S=9$: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) — 4 исхода.
• $S=10$: (4,6), (5,5), (6,4) — 3 исхода.
• $S=11$: (5,6), (6,5) — 2 исхода.
• $S=12$: (6,6) — 1 исход.

Общее число благоприятных исходов $m$ равно сумме количеств исходов для каждой суммы: $m = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21$.

Вероятность $P$ этого события: $P = \frac{m}{N} = \frac{21}{36}$

Сократим полученную дробь на 3: $P = \frac{7}{12}$

Ответ: $\frac{7}{12}$