Страница 204 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

527. В вазе стоят 4 белые и 7 красных астр. Какова вероятность того, что среди случайным образом вынутых из вазы трёх цветков окажется по крайней мере одна белая астра?

В вазе находится $4$ белые и $7$ красных астр, то есть всего $4 + 7 = 11$ цветков. Нам нужно найти вероятность того, что среди трёх случайным образом вынутых цветков окажется по крайней мере одна белая астра.

Эту задачу удобнее решать через нахождение вероятности противоположного события. Обозначим искомое событие как A: "среди трёх вынутых цветков есть хотя бы одна белая астра". Тогда противоположное ему событие A' будет: "среди трёх вынутых цветков нет ни одной белой", то есть все три вынутых цветка — красные. Вероятность искомого события A можно будет найти по формуле $P(A) = 1 - P(A')$.

1. Найдём общее число исходов.
Общее число способов выбрать 3 цветка из 11 имеющихся равно числу сочетаний из 11 по 3. Это общее число всех возможных элементарных исходов $N$.$N = C_{11}^3 = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11!}{3!8!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 5 \cdot 3 = 165$

2. Найдём число исходов, благоприятствующих событию A'.
Событие A' (все три цветка красные) наступает, если мы выбираем 3 цветка из 7 красных астр. Число таких способов $m$ равно числу сочетаний из 7 по 3.$m = C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$

3. Найдём вероятность события A'.
Вероятность того, что все три вынутых цветка будут красными, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:$P(A') = \frac{m}{N} = \frac{35}{165}$
Сократим эту дробь на 5:$P(A') = \frac{35 \div 5}{165 \div 5} = \frac{7}{33}$

4. Найдём вероятность искомого события A.
Теперь мы можем найти вероятность того, что среди трёх цветков будет по крайней мере одна белая астра:$P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{7}{33} = \frac{33}{33} - \frac{7}{33} = \frac{26}{33}$

Ответ: $\frac{26}{33}$

528. В студенческой группе 22 человека, среди которых 4 девушки. Какова вероятность того, что среди троих случайным образом выбранных из этой группы студентов (для участия в конференции) окажется по крайней мере одна девушка?

Для решения этой задачи по теории вероятностей мы определим общее число возможных исходов и число исходов, благоприятствующих нашему событию.

В студенческой группе 22 человека:

• Всего студентов: $n = 22$
• Количество девушек: 4
• Количество юношей: $22 - 4 = 18$

Нужно выбрать 3 человека для участия в конференции.

Событие, вероятность которого нам нужно найти, заключается в том, что среди троих случайно выбранных студентов окажется по крайней мере одна девушка.

Проще всего решить эту задачу, вычислив вероятность противоположного (дополнительного) события, которое заключается в том, что среди троих выбранных студентов нет ни одной девушки (то есть все трое — юноши), а затем вычесть эту вероятность из единицы.

1. Найдем общее число способов выбрать 3 студентов из 22.

Это число сочетаний из 22 по 3, так как порядок выбора студентов не имеет значения. Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Общее число исходов $N$: $N = C_{22}^3 = \binom{22}{3} = \frac{22!}{3!(22-3)!} = \frac{22!}{3!19!} = \frac{22 \times 21 \times 20}{3 \times 2 \times 1} = 11 \times 7 \times 20 = 1540$.

Итак, существует 1540 способов выбрать 3 студентов из 22.

2. Найдем число способов выбрать 3 юношей из 18.

Это число исходов $m$, благоприятствующих противоположному событию (выбраны только юноши).

$m = C_{18}^3 = \binom{18}{3} = \frac{18!}{3!(18-3)!} = \frac{18!}{3!15!} = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 17 \times 16 = 816$.

Итак, существует 816 способов выбрать 3 юношей из 18.

3. Найдем вероятность противоположного события.

Вероятность того, что все трое выбранных студентов будут юношами, равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу исходов:

$P(\text{нет девушек}) = \frac{m}{N} = \frac{816}{1540}$

Сократим эту дробь. Оба числа делятся на 4:

$P(\text{нет девушек}) = \frac{816 \div 4}{1540 \div 4} = \frac{204}{385}$

4. Найдем искомую вероятность.

Вероятность того, что среди выбранных будет по крайней мере одна девушка, равна:

$P(\text{по крайней мере одна девушка}) = 1 - P(\text{нет девушек})$

$P(\text{по крайней мере одна девушка}) = 1 - \frac{204}{385} = \frac{385}{385} - \frac{204}{385} = \frac{385 - 204}{385} = \frac{181}{385}$

Ответ: $\frac{181}{385}$

529. Вероятность поражения мишени при первом выстреле равна $0,7$. Вероятность поражения мишени при втором выстреле равна $0,8$. Вероятность поражения мишени и при первом, и при втором выстрелах равна $0,56$. Найти вероятность того, что:

1) мишень будет поражена хотя бы одним выстрелом;

2) мишень не будет поражена ни одним из выстрелов.

Обозначим события:

• $A$ - поражение мишени при первом выстреле.
• $B$ - поражение мишени при втором выстреле.

Из условия задачи известны следующие вероятности:

• Вероятность поражения при первом выстреле: $P(A) = 0,7$.
• Вероятность поражения при втором выстреле: $P(B) = 0,8$.
• Вероятность поражения и при первом, и при втором выстреле (совместное событие): $P(A \cap B) = 0,56$.

1) мишень будет поражена хотя бы одним выстрелом;

Событие "мишень поражена хотя бы одним выстрелом" означает, что произошло или событие $A$, или событие $B$, или оба вместе. Это соответствует объединению событий $A$ и $B$, то есть событию $A \cup B$.

Вероятность объединения двух событий вычисляется по формуле сложения вероятностей:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Подставим известные значения в формулу:

$P(A \cup B) = 0,7 + 0,8 - 0,56 = 1,5 - 0,56 = 0,94$

Ответ: $0,94$

2) мишень не будет поражена ни одним из выстрелов.

Событие "мишень не будет поражена ни одним из выстрелов" является противоположным (дополнительным) событию "мишень будет поражена хотя бы одним выстрелом", вероятность которого мы нашли в пункте 1.

Если $C = A \cup B$ - событие "поражена хотя бы одним выстрелом", то $\bar{C}$ - событие "не поражена ни одним выстрелом". Вероятность противоположного события равна:

$P(\bar{C}) = 1 - P(C)$

Подставим значение, найденное в пункте 1:

$P(\bar{C}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0,94 = 0,06$

Другой способ решения:

Событие "мишень не поражена ни одним из выстрелов" означает, что произошел промах при первом выстреле (событие $\bar{A}$) и промах при втором выстреле (событие $\bar{B}$).

Найдем вероятности промахов:

Вероятность промаха при первом выстреле: $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,7 = 0,3$.

Вероятность промаха при втором выстреле: $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2$.

События $A$ и $B$ являются независимыми, так как $P(A \cap B) = 0,56 = 0,7 \cdot 0,8 = P(A) \cdot P(B)$. Следовательно, их противоположные события $\bar{A}$ и $\bar{B}$ также независимы. Вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей:

$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) = 0,3 \cdot 0,2 = 0,06$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $0,06$

530. Известно, что $P(A) = 0.3$, $P(B) = 0.8$, $P(AB) = 0.1$. Доказать, что $A + B = U$.

Для того чтобы доказать, что $A + B = U$, необходимо показать, что событие $A + B$ является достоверным. В теории вероятностей достоверным называется событие, вероятность которого равна 1. Таким образом, задача сводится к доказательству равенства $P(A + B) = 1$.

Вероятность суммы (объединения) двух событий $A$ и $B$ определяется по формуле сложения вероятностей: $P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)$ где $P(A)$ — вероятность события A, $P(B)$ — вероятность события B, а $P(AB)$ — вероятность их одновременного наступления (пересечения).

Из условия задачи нам известны следующие значения: $P(A) = 0,3$ $P(B) = 0,8$ $P(AB) = 0,1$

Подставим эти значения в формулу сложения вероятностей: $P(A + B) = 0,3 + 0,8 - 0,1$

Выполним арифметические действия: $P(A + B) = 1,1 - 0,1 = 1$

Поскольку мы получили, что вероятность события $A + B$ равна 1, это означает, что событие $A + B$ является достоверным. Достоверное событие по определению совпадает со всем пространством элементарных исходов, которое обозначается как $U$. Следовательно, равенство $A + B = U$ доказано.

Ответ: Вероятность суммы событий $A$ и $B$ вычисляется по формуле $P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)$. Подставляя данные из условия, получаем $P(A + B) = 0,3 + 0,8 - 0,1 = 1$. Так как вероятность события $A+B$ равна 1, оно является достоверным, то есть $A+B=U$. Что и требовалось доказать.