Страница 208 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

531. На столе лежат 4 синих и 3 красных карандаша. Редактор дважды наугад берёт по одному карандашу и обратно их не кладёт. Найти вероятность того, что:

1) вторым был взят красный карандаш при условии, что первым был синий;

2) вторым взят синий карандаш при условии, что первым оказался синий;

3) вторым взят синий карандаш при условии, что первым был красный;

4) вторым взят красный карандаш при условии, что первым также оказался красный карандаш.

В начальный момент на столе находится 4 синих и 3 красных карандаша, что в сумме составляет $4 + 3 = 7$ карандашей. Редактор берет карандаши последовательно и без возвращения. Это означает, что после взятия первого карандаша общее количество карандашей и количество карандашей определенного цвета уменьшается.

1) вторым был взят красный карандаш при условии, что первым был синий;

Если первым был взят синий карандаш, то на столе осталось $7 - 1 = 6$ карандашей. Количество синих карандашей уменьшилось до $4 - 1 = 3$, а количество красных осталось прежним – 3.

Теперь вероятность вытащить вторым красный карандаш – это отношение количества оставшихся красных карандашей к общему количеству оставшихся карандашей.

$P(\text{второй красный} | \text{первый синий}) = \frac{\text{число красных}}{\text{общее число оставшихся}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

2) вторым взят синий карандаш при условии, что первым оказался синий;

Как и в предыдущем пункте, после взятия первого синего карандаша на столе осталось 6 карандашей. Из них 3 синих и 3 красных.

Вероятность вытащить вторым синий карандаш – это отношение количества оставшихся синих карандашей к общему количеству оставшихся карандашей.

$P(\text{второй синий} | \text{первый синий}) = \frac{\text{число синих}}{\text{общее число оставшихся}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

3) вторым взят синий карандаш при условии, что первым был красный;

Если первым был взят красный карандаш, то на столе осталось $7 - 1 = 6$ карандашей. Количество красных карандашей уменьшилось до $3 - 1 = 2$, а количество синих осталось прежним – 4.

Вероятность вытащить вторым синий карандаш – это отношение количества оставшихся синих карандашей к общему количеству оставшихся карандашей.

$P(\text{второй синий} | \text{первый красный}) = \frac{\text{число синих}}{\text{общее число оставшихся}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

4) вторым взят красный карандаш при условии, что первым также оказался красный карандаш.

Как и в предыдущем пункте, после взятия первого красного карандаша на столе осталось 6 карандашей. Из них 4 синих и 2 красных.

Вероятность вытащить вторым красный карандаш – это отношение количества оставшихся красных карандашей к общему количеству оставшихся карандашей.

$P(\text{второй красный} | \text{первый красный}) = \frac{\text{число красных}}{\text{общее число оставшихся}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

532. В барабане находится 10 лотерейных билетов, из них 2 выигрышных. Из барабана 2 раза вынимают по одному билету, не возвращая их обратно. Какова вероятность того, что:

1) во второй раз был извлечён билет без выигрыша при условии, что первым оказался выигрышный билет;

2) в первый раз был вынут выигрышный билет, а во второй раз — билет без выигрыша?

Для решения задачи определим начальные условия. Всего в барабане 10 лотерейных билетов.
Количество выигрышных билетов: 2.
Количество билетов без выигрыша: $10 - 2 = 8$.
Билеты извлекаются без возвращения.

1) во второй раз был извлечён билет без выигрыша при условии, что первым оказался выигрышный билет;

Это задача на условную вероятность. Нам нужно найти вероятность события "второй билет без выигрыша" при условии, что событие "первый билет выигрышный" уже произошло.

Пусть событие A — "первым извлечён выигрышный билет".

После того, как произошло событие A, обстановка в барабане изменилась:

• Общее количество билетов уменьшилось на один: $10 - 1 = 9$.
• Количество выигрышных билетов уменьшилось на один: $2 - 1 = 1$.
• Количество билетов без выигрыша не изменилось: 8.

Теперь нам нужно найти вероятность извлечь билет без выигрыша из нового набора билетов. В барабане 9 билетов, из которых 8 — без выигрыша.

Вероятность этого события равна отношению числа билетов без выигрыша к общему числу оставшихся билетов.

Вероятность = $\frac{\text{число билетов без выигрыша}}{\text{общее число оставшихся билетов}} = \frac{8}{9}$.

Ответ: $\frac{8}{9}$

2) в первый раз был вынут выигрышный билет, а во второй раз — билет без выигрыша?

Здесь нам нужно найти вероятность последовательного наступления двух зависимых событий. Используем формулу умножения вероятностей: $P(A \text{ и } B) = P(A) \times P(B|A)$, где:

• $P(A)$ — вероятность того, что первым был вынут выигрышный билет.
• $P(B|A)$ — вероятность того, что вторым был вынут билет без выигрыша, при условии, что первый был выигрышным.

Шаг 1: Вычисляем $P(A)$.
Изначально в барабане 10 билетов, из них 2 выигрышных.
$P(A) = \frac{\text{число выигрышных билетов}}{\text{общее число билетов}} = \frac{2}{10}$.

Шаг 2: Вычисляем $P(B|A)$.
Эту вероятность мы уже нашли в первом пункте. После извлечения одного выигрышного билета в барабане остается 9 билетов, из которых 8 — без выигрыша.
$P(B|A) = \frac{8}{9}$.

Шаг 3: Находим искомую вероятность, перемножая вероятности шагов 1 и 2.
$P(A \text{ и } B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{2}{10} \times \frac{8}{9} = \frac{16}{90}$.

Сократим полученную дробь:
$\frac{16}{90} = \frac{16 \div 2}{90 \div 2} = \frac{8}{45}$.

Ответ: $\frac{8}{45}$

533. Из ящика, содержащего 4 белых и 5 красных шаров, 2 раза наугад извлекают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что:

1) вторым извлечён красный шар при условии, что первым также оказался красный шар;

2) оба раза извлекались красные шары.

В ящике находится $4$ белых и $5$ красных шаров, всего $4 + 5 = 9$ шаров. Извлечение происходит без возвращения, что означает, что после извлечения первого шара общее количество шаров и количество шаров определенного цвета уменьшается.

1) вторым извлечён красный шар при условии, что первым также оказался красный шар;

Это задача на условную вероятность. Обозначим события:
A – «первым извлечён красный шар».
B – «вторым извлечён красный шар».

Нам необходимо найти вероятность события B при условии, что событие A уже произошло, то есть $P(B|A)$.

Поскольку событие A (первым извлечён красный шар) уже наступило, состав шаров в ящике изменился. Изначально было 9 шаров (5 красных и 4 белых). После извлечения одного красного шара в ящике осталось:

• Общее количество шаров: $9 - 1 = 8$
• Количество красных шаров: $5 - 1 = 4$
• Количество белых шаров: $4$ (не изменилось)

Теперь вероятность извлечь вторым красный шар (событие B) из этого нового набора шаров равна отношению числа оставшихся красных шаров к общему числу оставшихся шаров.

$P(B|A) = \frac{\text{число оставшихся красных шаров}}{\text{общее число оставшихся шаров}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

2) оба раза извлекались красные шары.

Это событие означает, что и первый шар был красным, и второй шар был красным. Вероятность этого сложного события равна произведению вероятностей двух зависимых событий: вероятности того, что первый шар красный, и условной вероятности того, что второй шар красный, при условии, что первый уже был красным.

$P(\text{оба красные}) = P(\text{первый красный}) \cdot P(\text{второй красный | первый красный})$

Вероятность того, что первый извлечённый шар будет красным, составляет:
$P(\text{первый красный}) = \frac{\text{число красных шаров}}{\text{общее число шаров}} = \frac{5}{9}$

Вероятность того, что второй шар будет красным, при условии, что первый был красным, мы уже вычислили в пункте 1:
$P(\text{второй красный | первый красный}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Теперь, чтобы найти вероятность того, что оба шара красные, перемножим эти две вероятности:
$P(\text{оба красные}) = \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8} = \frac{5 \cdot 4}{9 \cdot 8} = \frac{20}{72}$

Сократим полученную дробь:
$\frac{20}{72} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$

Ответ: $\frac{5}{18}$

534. Из колоды в 36 карт последовательно наугад вынимаются и не возвращаются 2 карты. Какова вероятность того, что:

1) оба раза извлекались карты красной масти;

2) первой была вынута карта красной масти, а второй — чёрной масти;

3) второй вынута карта чёрной масти при условии, что первой была карта красной масти?

В условии задачи дана колода из 36 карт. В такой колоде 4 масти: две красные (червы и бубны) и две чёрные (трефы и пики). Каждая масть содержит 9 карт (от шестерки до туза).
Таким образом, в колоде:
- Всего карт: 36
- Карт красной масти: $2 \times 9 = 18$
- Карт чёрной масти: $2 \times 9 = 18$
Карты вынимаются последовательно и без возвращения, что означает, что после извлечения первой карты в колоде остается 35 карт.

1) оба раза извлекались карты красной масти;

Для решения этой задачи найдем вероятность последовательного наступления двух событий:
Событие A: первая извлеченная карта — красной масти.
Событие B: вторая извлеченная карта — красной масти.
Вероятность события A (вынуть первой красную карту) равна отношению числа красных карт к общему числу карт в колоде:
$P(A) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$
После того как событие A произошло, в колоде осталось 35 карт, из которых $18 - 1 = 17$ красных. Вероятность события B при условии, что событие A уже наступило (условная вероятность $P(B|A)$), равна:
$P(B|A) = \frac{17}{35}$
Вероятность того, что оба события произойдут, равна произведению вероятности первого события на условную вероятность второго:
$P(A \text{ и } B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{18}{36} \times \frac{17}{35} = \frac{1}{2} \times \frac{17}{35} = \frac{17}{70}$
Ответ: $\frac{17}{70}$

2) первой была вынута карта красной масти, а второй — чёрной масти;

Здесь мы также рассматриваем два последовательных события:
Событие A: первая извлеченная карта — красной масти.
Событие C: вторая извлеченная карта — чёрной масти.
Вероятность события A, как мы уже определили, составляет:
$P(A) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$
После извлечения одной красной карты в колоде осталось 35 карт. Количество чёрных карт не изменилось и по-прежнему составляет 18. Вероятность вынуть второй карту чёрной масти при условии, что первая была красной ($P(C|A)$), равна:
$P(C|A) = \frac{18}{35}$
Искомая вероятность является произведением этих вероятностей:
$P(A \text{ и } C) = P(A) \times P(C|A) = \frac{18}{36} \times \frac{18}{35} = \frac{1}{2} \times \frac{18}{35} = \frac{18}{70} = \frac{9}{35}$
Ответ: $\frac{9}{35}$

3) второй вынута карта чёрной масти при условии, что первой была карта красной масти?

Этот вопрос является задачей на условную вероятность. Нам дано условие: "первой была карта красной масти". Нужно найти вероятность того, что вторая карта будет чёрной, при выполнении этого условия.
Пусть событие A — первая карта красная, а событие C — вторая карта чёрная. Нам нужно найти $P(C|A)$.
После того, как была вынута первая красная карта, в колоде осталось $36 - 1 = 35$ карт.
Количество чёрных карт в колоде не изменилось и составляет 18.
Следовательно, вероятность вынуть чёрную карту из оставшихся 35 карт равна:
$P(C|A) = \frac{\text{количество чёрных карт}}{\text{оставшееся количество карт}} = \frac{18}{35}$
Ответ: $\frac{18}{35}$

535. Выяснить, являются ли независимыми события $A$ и $B$, если:

1) игральная кость бросается дважды; событие $A$ — при первом бросании выпало 2 очка, событие $B$ — при втором бросании выпало 5 очков;

2) брошены две игральные кости; $A$ — на первой кости появилось 6 очков, $B$ — на второй кости также 6 очков;

3) из колоды карт вынимают по одной карте, возвращая вынутую карту в колоду; $A$ — первой вынута дама пик, $B$ — второй также вынута дама пик;

4) из колоды карт дважды вынимают по одной карте, не возвращая их в колоду; событие $A$ — первой вынута шестёрка треф, событие $B$ — вторым вынут король пик.

Два события A и B называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Математически это выражается формулой: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$, где $P(A \cap B)$ - вероятность совместного наступления событий A и B. Эквивалентное условие: $P(B|A) = P(B)$, где $P(B|A)$ - условная вероятность события B при условии, что событие A уже произошло.

1) игральная кость бросается дважды; событие А — при первом бросании выпало 2 очка, событие В — при втором бросании выпало 5 очков;

Результат второго броска игральной кости никак не зависит от результата первого броска. Эти два испытания являются физически независимыми. Проверим математически. Всего возможных исходов при двух бросках: $6 \cdot 6 = 36$. Вероятность события A (выпало 2 очка при первом броске): есть 6 благоприятных исходов ((2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)) из 36. $P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. Вероятность события B (выпало 5 очков при втором броске): есть 6 благоприятных исходов ((1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)) из 36. $P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. Событие $A \cap B$ означает, что при первом броске выпало 2, а при втором — 5. Этому соответствует только один исход (2, 5) из 36. $P(A \cap B) = \frac{1}{36}$. Проверим равенство $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$: $\frac{1}{36} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$ $\frac{1}{36} = \frac{1}{36}$. Равенство выполняется, следовательно, события независимы.
Ответ: события являются независимыми.

2) брошены две игральные кости; А — на первой кости появилось 6 очков, В — на второй кости также 6 очков;

Этот случай аналогичен предыдущему. Бросок двух разных костей одновременно эквивалентен двум последовательным броскам одной кости. Результат на одной кости никак не влияет на результат на другой. Вероятность события A (на первой кости 6 очков): $P(A) = \frac{1}{6}$. Вероятность события B (на второй кости 6 очков): $P(B) = \frac{1}{6}$. Вероятность совместного события $A \cap B$ (на обеих костях по 6 очков): $P(A \cap B) = \frac{1}{36}$. Проверяем равенство $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$: $\frac{1}{36} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$. Равенство выполняется.
Ответ: события являются независимыми.

3) из колоды карт вынимают по одной карте, возвращая вынутую карту в колоду; А — первой вынута дама пик, В — второй также вынута дама пик;

Ключевым условием здесь является "возвращая вынутую карту в колоду". Это означает, что состав колоды перед вторым извлечением карты точно такой же, как и перед первым. Таким образом, результат первого извлечения не влияет на вероятности исходов второго извлечения. Пусть в колоде N карт (стандартно N=52 или N=36). Вероятность события A (первой вынута дама пик): $P(A) = \frac{1}{N}$. Поскольку карту вернули, вероятность события B (второй вынута дама пик) точно такая же: $P(B) = \frac{1}{N}$. Вероятность совместного события $A \cap B$ (оба раза вынули даму пик с возвратом): $P(A \cap B) = \frac{1}{N} \cdot \frac{1}{N} = \frac{1}{N^2}$. Проверяем равенство $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$: $\frac{1}{N^2} = \frac{1}{N} \cdot \frac{1}{N}$. Равенство выполняется.
Ответ: события являются независимыми.

4) из колоды карт дважды вынимают по одной карте, не возвращая их в колоду; событие А — первой вынута шестёрка треф, событие В — вторым вынут король пик.

Ключевое условие "не возвращая их в колоду". Это означает, что после первого извлечения состав колоды меняется: в ней становится на одну карту меньше. Следовательно, вероятность исхода второго извлечения зависит от результата первого. Пусть в колоде 52 карты. Вероятность события A (первой вынута шестёрка треф): $P(A) = \frac{1}{52}$. Теперь найдем условную вероятность события B при условии, что событие A произошло, т.е. $P(B|A)$. Если первой картой была вынута шестёрка треф, то в колоде осталась 51 карта, среди которых есть король пик. $P(B|A) = \frac{1}{51}$. Теперь найдем безусловную вероятность события B. По соображениям симметрии, вероятность того, что на втором месте окажется король пик, такая же, как и на первом: $P(B) = \frac{1}{52}$. Сравним $P(B|A)$ и $P(B)$: $\frac{1}{51} \neq \frac{1}{52}$. Так как $P(B|A) \neq P(B)$, наступление события A изменило вероятность наступления события B. Следовательно, события зависимы.
Ответ: события являются зависимыми.