Номер 532, страница 208 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 6. Элементы теории вероятностей. Параграф 3. Условная вероятность. Независимость событий - номер 532, страница 208.

Условие.

532. В барабане находится 10 лотерейных билетов, из них 2 выигрышных. Из барабана 2 раза вынимают по одному билету, не возвращая их обратно. Какова вероятность того, что:

1) во второй раз был извлечён билет без выигрыша при условии, что первым оказался выигрышный билет;

2) в первый раз был вынут выигрышный билет, а во второй раз — билет без выигрыша?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи определим начальные условия. Всего в барабане 10 лотерейных билетов.
Количество выигрышных билетов: 2.
Количество билетов без выигрыша: $10 - 2 = 8$.
Билеты извлекаются без возвращения.

1) во второй раз был извлечён билет без выигрыша при условии, что первым оказался выигрышный билет;

Это задача на условную вероятность. Нам нужно найти вероятность события "второй билет без выигрыша" при условии, что событие "первый билет выигрышный" уже произошло.

Пусть событие A — "первым извлечён выигрышный билет".

После того, как произошло событие A, обстановка в барабане изменилась:

• Общее количество билетов уменьшилось на один: $10 - 1 = 9$.
• Количество выигрышных билетов уменьшилось на один: $2 - 1 = 1$.
• Количество билетов без выигрыша не изменилось: 8.

Теперь нам нужно найти вероятность извлечь билет без выигрыша из нового набора билетов. В барабане 9 билетов, из которых 8 — без выигрыша.

Вероятность этого события равна отношению числа билетов без выигрыша к общему числу оставшихся билетов.

Вероятность = $\frac{\text{число билетов без выигрыша}}{\text{общее число оставшихся билетов}} = \frac{8}{9}$.

Ответ: $\frac{8}{9}$

2) в первый раз был вынут выигрышный билет, а во второй раз — билет без выигрыша?

Здесь нам нужно найти вероятность последовательного наступления двух зависимых событий. Используем формулу умножения вероятностей: $P(A \text{ и } B) = P(A) \times P(B|A)$, где:

• $P(A)$ — вероятность того, что первым был вынут выигрышный билет.
• $P(B|A)$ — вероятность того, что вторым был вынут билет без выигрыша, при условии, что первый был выигрышным.

Шаг 1: Вычисляем $P(A)$.
Изначально в барабане 10 билетов, из них 2 выигрышных.
$P(A) = \frac{\text{число выигрышных билетов}}{\text{общее число билетов}} = \frac{2}{10}$.

Шаг 2: Вычисляем $P(B|A)$.
Эту вероятность мы уже нашли в первом пункте. После извлечения одного выигрышного билета в барабане остается 9 билетов, из которых 8 — без выигрыша.
$P(B|A) = \frac{8}{9}$.

Шаг 3: Находим искомую вероятность, перемножая вероятности шагов 1 и 2.
$P(A \text{ и } B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{2}{10} \times \frac{8}{9} = \frac{16}{90}$.

Сократим полученную дробь:
$\frac{16}{90} = \frac{16 \div 2}{90 \div 2} = \frac{8}{45}$.

Ответ: $\frac{8}{45}$