Номер 537, страница 209 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 6. Элементы теории вероятностей. Параграф 3. Условная вероятность. Независимость событий - номер 537, страница 209.

Условие.

537. В партии из 100 деталей 2 детали бракованные. Два контролёра поочереди вынимают случайным образом по одной детали. Какова вероятность того, что первому контролёру досталась бракованная, а второму — небракованная деталь? (Решить задачу разными способами.)

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

В партии находится 100 деталей, из которых 2 бракованные и $100 - 2 = 98$ небракованных (стандартных).

Способ 1. Использование теоремы умножения вероятностей

Рассмотрим два зависимых события:
Событие A: первый контролёр вынул бракованную деталь.
Событие B: второй контролёр вынул небракованную деталь.

Нам нужно найти вероятность совместного наступления этих событий, то есть $P(A \cap B)$. По теореме умножения вероятностей для зависимых событий: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$, где $P(B|A)$ — условная вероятность события B при условии, что событие A уже произошло.

1. Найдём вероятность события A.
Всего в партии 100 деталей, из них 2 бракованные. Вероятность того, что первый контролёр вынет бракованную деталь, равна:
$P(A) = \frac{2}{100} = \frac{1}{50}$

2. Найдём вероятность события B при условии, что событие A произошло.
После того как первый контролёр вынул одну бракованную деталь, в партии осталось $100 - 1 = 99$ деталей. Из них бракованных осталась $2 - 1 = 1$ деталь, а небракованных по-прежнему 98.
Вероятность того, что второй контролёр вынет небракованную деталь, равна:
$P(B|A) = \frac{98}{99}$

3. Теперь вычислим искомую вероятность:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{2}{100} \cdot \frac{98}{99} = \frac{196}{9900}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:
$\frac{196}{9900} = \frac{196 \div 4}{9900 \div 4} = \frac{49}{2475}$

Ответ: $\frac{49}{2475}$

Способ 2. Использование классического определения вероятности (комбинаторика)

Вероятность события можно найти по формуле $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

1. Найдём общее число исходов $n$.
Контролёры вынимают детали поочерёдно, поэтому важен порядок их извлечения. Общее число исходов — это число размещений из 100 деталей по 2.
$n = A_{100}^2 = \frac{100!}{(100-2)!} = \frac{100!}{98!} = 100 \cdot 99 = 9900$
Или, рассуждая иначе: у первого контролёра 100 вариантов выбора, у второго — 99. Всего $100 \cdot 99 = 9900$ исходов.

2. Найдём число благоприятных исходов $m$.
Благоприятный исход — это когда первому контролёру досталась бракованная деталь, а второму — небракованная.
Число способов выбрать первую (бракованную) деталь равно 2.
Число способов выбрать вторую (небракованную) деталь из оставшихся 99 деталей равно 98.
По правилу произведения, число благоприятных исходов равно:
$m = 2 \cdot 98 = 196$

3. Найдём искомую вероятность:
$P = \frac{m}{n} = \frac{196}{9900} = \frac{49}{2475}$

Ответ: $\frac{49}{2475}$