Номер 534, страница 208 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 6. Элементы теории вероятностей. Параграф 3. Условная вероятность. Независимость событий - номер 534, страница 208.

Условие.

534. Из колоды в 36 карт последовательно наугад вынимаются и не возвращаются 2 карты. Какова вероятность того, что:

1) оба раза извлекались карты красной масти;

2) первой была вынута карта красной масти, а второй — чёрной масти;

3) второй вынута карта чёрной масти при условии, что первой была карта красной масти?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

В условии задачи дана колода из 36 карт. В такой колоде 4 масти: две красные (червы и бубны) и две чёрные (трефы и пики). Каждая масть содержит 9 карт (от шестерки до туза).
Таким образом, в колоде:
- Всего карт: 36
- Карт красной масти: $2 \times 9 = 18$
- Карт чёрной масти: $2 \times 9 = 18$
Карты вынимаются последовательно и без возвращения, что означает, что после извлечения первой карты в колоде остается 35 карт.

1) оба раза извлекались карты красной масти;

Для решения этой задачи найдем вероятность последовательного наступления двух событий:
Событие A: первая извлеченная карта — красной масти.
Событие B: вторая извлеченная карта — красной масти.
Вероятность события A (вынуть первой красную карту) равна отношению числа красных карт к общему числу карт в колоде:
$P(A) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$
После того как событие A произошло, в колоде осталось 35 карт, из которых $18 - 1 = 17$ красных. Вероятность события B при условии, что событие A уже наступило (условная вероятность $P(B|A)$), равна:
$P(B|A) = \frac{17}{35}$
Вероятность того, что оба события произойдут, равна произведению вероятности первого события на условную вероятность второго:
$P(A \text{ и } B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{18}{36} \times \frac{17}{35} = \frac{1}{2} \times \frac{17}{35} = \frac{17}{70}$
Ответ: $\frac{17}{70}$

2) первой была вынута карта красной масти, а второй — чёрной масти;

Здесь мы также рассматриваем два последовательных события:
Событие A: первая извлеченная карта — красной масти.
Событие C: вторая извлеченная карта — чёрной масти.
Вероятность события A, как мы уже определили, составляет:
$P(A) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$
После извлечения одной красной карты в колоде осталось 35 карт. Количество чёрных карт не изменилось и по-прежнему составляет 18. Вероятность вынуть второй карту чёрной масти при условии, что первая была красной ($P(C|A)$), равна:
$P(C|A) = \frac{18}{35}$
Искомая вероятность является произведением этих вероятностей:
$P(A \text{ и } C) = P(A) \times P(C|A) = \frac{18}{36} \times \frac{18}{35} = \frac{1}{2} \times \frac{18}{35} = \frac{18}{70} = \frac{9}{35}$
Ответ: $\frac{9}{35}$

3) второй вынута карта чёрной масти при условии, что первой была карта красной масти?

Этот вопрос является задачей на условную вероятность. Нам дано условие: "первой была карта красной масти". Нужно найти вероятность того, что вторая карта будет чёрной, при выполнении этого условия.
Пусть событие A — первая карта красная, а событие C — вторая карта чёрная. Нам нужно найти $P(C|A)$.
После того, как была вынута первая красная карта, в колоде осталось $36 - 1 = 35$ карт.
Количество чёрных карт в колоде не изменилось и составляет 18.
Следовательно, вероятность вынуть чёрную карту из оставшихся 35 карт равна:
$P(C|A) = \frac{\text{количество чёрных карт}}{\text{оставшееся количество карт}} = \frac{18}{35}$
Ответ: $\frac{18}{35}$