Номер 528, страница 204 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 6. Элементы теории вероятностей. Параграф 2. Сложение вероятностей - номер 528, страница 204.

Условие.

528. В студенческой группе 22 человека, среди которых 4 девушки. Какова вероятность того, что среди троих случайным образом выбранных из этой группы студентов (для участия в конференции) окажется по крайней мере одна девушка?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи по теории вероятностей мы определим общее число возможных исходов и число исходов, благоприятствующих нашему событию.

В студенческой группе 22 человека:

• Всего студентов: $n = 22$
• Количество девушек: 4
• Количество юношей: $22 - 4 = 18$

Нужно выбрать 3 человека для участия в конференции.

Событие, вероятность которого нам нужно найти, заключается в том, что среди троих случайно выбранных студентов окажется по крайней мере одна девушка.

Проще всего решить эту задачу, вычислив вероятность противоположного (дополнительного) события, которое заключается в том, что среди троих выбранных студентов нет ни одной девушки (то есть все трое — юноши), а затем вычесть эту вероятность из единицы.

1. Найдем общее число способов выбрать 3 студентов из 22.

Это число сочетаний из 22 по 3, так как порядок выбора студентов не имеет значения. Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Общее число исходов $N$: $N = C_{22}^3 = \binom{22}{3} = \frac{22!}{3!(22-3)!} = \frac{22!}{3!19!} = \frac{22 \times 21 \times 20}{3 \times 2 \times 1} = 11 \times 7 \times 20 = 1540$.

Итак, существует 1540 способов выбрать 3 студентов из 22.

2. Найдем число способов выбрать 3 юношей из 18.

Это число исходов $m$, благоприятствующих противоположному событию (выбраны только юноши).

$m = C_{18}^3 = \binom{18}{3} = \frac{18!}{3!(18-3)!} = \frac{18!}{3!15!} = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 17 \times 16 = 816$.

Итак, существует 816 способов выбрать 3 юношей из 18.

3. Найдем вероятность противоположного события.

Вероятность того, что все трое выбранных студентов будут юношами, равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу исходов:

$P(\text{нет девушек}) = \frac{m}{N} = \frac{816}{1540}$

Сократим эту дробь. Оба числа делятся на 4:

$P(\text{нет девушек}) = \frac{816 \div 4}{1540 \div 4} = \frac{204}{385}$

4. Найдем искомую вероятность.

Вероятность того, что среди выбранных будет по крайней мере одна девушка, равна:

$P(\text{по крайней мере одна девушка}) = 1 - P(\text{нет девушек})$

$P(\text{по крайней мере одна девушка}) = 1 - \frac{204}{385} = \frac{385}{385} - \frac{204}{385} = \frac{385 - 204}{385} = \frac{181}{385}$

Ответ: $\frac{181}{385}$