Номер 535, страница 208 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 6. Элементы теории вероятностей. Параграф 3. Условная вероятность. Независимость событий - номер 535, страница 208.

Условие.

535. Выяснить, являются ли независимыми события $A$ и $B$, если:

1) игральная кость бросается дважды; событие $A$ — при первом бросании выпало 2 очка, событие $B$ — при втором бросании выпало 5 очков;

2) брошены две игральные кости; $A$ — на первой кости появилось 6 очков, $B$ — на второй кости также 6 очков;

3) из колоды карт вынимают по одной карте, возвращая вынутую карту в колоду; $A$ — первой вынута дама пик, $B$ — второй также вынута дама пик;

4) из колоды карт дважды вынимают по одной карте, не возвращая их в колоду; событие $A$ — первой вынута шестёрка треф, событие $B$ — вторым вынут король пик.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Два события A и B называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Математически это выражается формулой: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$, где $P(A \cap B)$ - вероятность совместного наступления событий A и B. Эквивалентное условие: $P(B|A) = P(B)$, где $P(B|A)$ - условная вероятность события B при условии, что событие A уже произошло.

1) игральная кость бросается дважды; событие А — при первом бросании выпало 2 очка, событие В — при втором бросании выпало 5 очков;

Результат второго броска игральной кости никак не зависит от результата первого броска. Эти два испытания являются физически независимыми. Проверим математически. Всего возможных исходов при двух бросках: $6 \cdot 6 = 36$. Вероятность события A (выпало 2 очка при первом броске): есть 6 благоприятных исходов ((2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)) из 36. $P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. Вероятность события B (выпало 5 очков при втором броске): есть 6 благоприятных исходов ((1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)) из 36. $P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. Событие $A \cap B$ означает, что при первом броске выпало 2, а при втором — 5. Этому соответствует только один исход (2, 5) из 36. $P(A \cap B) = \frac{1}{36}$. Проверим равенство $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$: $\frac{1}{36} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$ $\frac{1}{36} = \frac{1}{36}$. Равенство выполняется, следовательно, события независимы.
Ответ: события являются независимыми.

2) брошены две игральные кости; А — на первой кости появилось 6 очков, В — на второй кости также 6 очков;

Этот случай аналогичен предыдущему. Бросок двух разных костей одновременно эквивалентен двум последовательным броскам одной кости. Результат на одной кости никак не влияет на результат на другой. Вероятность события A (на первой кости 6 очков): $P(A) = \frac{1}{6}$. Вероятность события B (на второй кости 6 очков): $P(B) = \frac{1}{6}$. Вероятность совместного события $A \cap B$ (на обеих костях по 6 очков): $P(A \cap B) = \frac{1}{36}$. Проверяем равенство $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$: $\frac{1}{36} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$. Равенство выполняется.
Ответ: события являются независимыми.

3) из колоды карт вынимают по одной карте, возвращая вынутую карту в колоду; А — первой вынута дама пик, В — второй также вынута дама пик;

Ключевым условием здесь является "возвращая вынутую карту в колоду". Это означает, что состав колоды перед вторым извлечением карты точно такой же, как и перед первым. Таким образом, результат первого извлечения не влияет на вероятности исходов второго извлечения. Пусть в колоде N карт (стандартно N=52 или N=36). Вероятность события A (первой вынута дама пик): $P(A) = \frac{1}{N}$. Поскольку карту вернули, вероятность события B (второй вынута дама пик) точно такая же: $P(B) = \frac{1}{N}$. Вероятность совместного события $A \cap B$ (оба раза вынули даму пик с возвратом): $P(A \cap B) = \frac{1}{N} \cdot \frac{1}{N} = \frac{1}{N^2}$. Проверяем равенство $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$: $\frac{1}{N^2} = \frac{1}{N} \cdot \frac{1}{N}$. Равенство выполняется.
Ответ: события являются независимыми.

4) из колоды карт дважды вынимают по одной карте, не возвращая их в колоду; событие А — первой вынута шестёрка треф, событие В — вторым вынут король пик.

Ключевое условие "не возвращая их в колоду". Это означает, что после первого извлечения состав колоды меняется: в ней становится на одну карту меньше. Следовательно, вероятность исхода второго извлечения зависит от результата первого. Пусть в колоде 52 карты. Вероятность события A (первой вынута шестёрка треф): $P(A) = \frac{1}{52}$. Теперь найдем условную вероятность события B при условии, что событие A произошло, т.е. $P(B|A)$. Если первой картой была вынута шестёрка треф, то в колоде осталась 51 карта, среди которых есть король пик. $P(B|A) = \frac{1}{51}$. Теперь найдем безусловную вероятность события B. По соображениям симметрии, вероятность того, что на втором месте окажется король пик, такая же, как и на первом: $P(B) = \frac{1}{52}$. Сравним $P(B|A)$ и $P(B)$: $\frac{1}{51} \neq \frac{1}{52}$. Так как $P(B|A) \neq P(B)$, наступление события A изменило вероятность наступления события B. Следовательно, события зависимы.
Ответ: события являются зависимыми.