Номер 541, страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 6. Элементы теории вероятностей. Параграф 4. Вероятность произведения независмых событий - номер 541, страница 211.

Условие.

541. В урне 2 белых, 3 красных и 5 чёрных шаров. Дважды вынимают по одному шару и оба раза возвращают их обратно в урну. Какова вероятность того, что:

1) первым вынут красный шар, а вторым — чёрный;

2) первым вынут чёрный шар, а вторым — белый?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи сначала определим общее количество шаров в урне.

Всего шаров: $2 \text{ (белых)} + 3 \text{ (красных)} + 5 \text{ (чёрных)} = 10$ шаров.

По условию, шар, вынутый из урны, каждый раз возвращают обратно. Это означает, что состав шаров в урне перед каждым выниманием не меняется. Следовательно, события (первое и второе вынимание шара) являются независимыми. Вероятность одновременного наступления двух независимых событий равна произведению их индивидуальных вероятностей.

1) первым вынут красный шар, а вторым — чёрный;

Пусть событие $A$ — это вынимание красного шара. Вероятность этого события равна отношению числа красных шаров к общему числу шаров: $P(A) = \frac{3}{10}$

Пусть событие $B$ — это вынимание чёрного шара. Так как первый шар был возвращен в урну, общее число шаров и число чёрных шаров остались прежними. Вероятность этого события: $P(B) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Вероятность того, что первым вынут красный шар, а вторым — чёрный, вычисляется как произведение вероятностей этих независимых событий: $P(\text{A и B}) = P(A) \times P(B) = \frac{3}{10} \times \frac{5}{10} = \frac{15}{100} = \frac{3}{20} = 0,15$

Ответ: $0,15$

2) первым вынут чёрный шар, а вторым — белый?

Пусть событие $C$ — это вынимание чёрного шара. Вероятность этого события: $P(C) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Пусть событие $D$ — это вынимание белого шара. Вероятность этого события: $P(D) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Вероятность того, что первым вынут чёрный шар, а вторым — белый, равна произведению вероятностей этих независимых событий: $P(\text{C и D}) = P(C) \times P(D) = \frac{5}{10} \times \frac{2}{10} = \frac{10}{100} = \frac{1}{10} = 0,1$

Ответ: $0,1$