Страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

539. Вероятность попадания стрелком в мишень при одном выстреле равна 0,6. Какова вероятность того, что стрелок попадает в мишень в каждом из двух последовательных выстрелов?

Для решения этой задачи мы имеем дело с двумя независимыми событиями, так как результат одного выстрела не влияет на результат другого.

Обозначим событие $A_1$ как «попадание в мишень при первом выстреле». Вероятность этого события по условию задачи равна:

$P(A_1) = 0,6$

Обозначим событие $A_2$ как «попадание в мишень при втором выстреле». Вероятность этого события также равна:

$P(A_2) = 0,6$

Нам необходимо найти вероятность того, что произойдут оба этих события одновременно, то есть стрелок попадет в мишень и при первом, и при втором выстреле.

Вероятность одновременного наступления двух независимых событий равна произведению их вероятностей. Формула для этого случая выглядит так:

$P(A_1 \text{ и } A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2)$

Теперь подставим известные значения в формулу и выполним вычисление:

$P(A_1 \text{ и } A_2) = 0,6 \cdot 0,6 = 0,36$

Следовательно, вероятность того, что стрелок попадет в мишень в каждом из двух последовательных выстрелов, составляет 0,36.

Ответ: 0,36.

540. Вероятность поражения определённой цели первым орудием равна $0,7$, а вторым — $0,6$. Найти вероятность поражения этой цели обоими орудиями, стрелявшими по одному разу независимо друг от друга.

Для решения этой задачи определим события:
Событие A: первое орудие поразило цель.
Событие B: второе орудие поразило цель.

По условию задачи, вероятности этих событий известны:
Вероятность поражения цели первым орудием: $P(A) = 0,7$.
Вероятность поражения цели вторым орудием: $P(B) = 0,6$.

В задаче сказано, что орудия стреляют независимо друг от друга. Это означает, что исход выстрела одного орудия не влияет на исход выстрела другого. Следовательно, события A и B являются независимыми.

Нам нужно найти вероятность поражения цели обоими орудиями, то есть вероятность того, что произойдут оба события A и B одновременно. Для независимых событий вероятность их совместного наступления (пересечения) равна произведению их вероятностей.

Формула для нахождения вероятности совместного наступления двух независимых событий A и B:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Подставим данные значения в формулу и произведем расчет:
$P(A \cap B) = 0,7 \cdot 0,6 = 0,42$

Таким образом, вероятность того, что цель будет поражена обоими орудиями, составляет 0,42.
Ответ: 0,42.

541. В урне 2 белых, 3 красных и 5 чёрных шаров. Дважды вынимают по одному шару и оба раза возвращают их обратно в урну. Какова вероятность того, что:

1) первым вынут красный шар, а вторым — чёрный;

2) первым вынут чёрный шар, а вторым — белый?

Для решения задачи сначала определим общее количество шаров в урне.

Всего шаров: $2 \text{ (белых)} + 3 \text{ (красных)} + 5 \text{ (чёрных)} = 10$ шаров.

По условию, шар, вынутый из урны, каждый раз возвращают обратно. Это означает, что состав шаров в урне перед каждым выниманием не меняется. Следовательно, события (первое и второе вынимание шара) являются независимыми. Вероятность одновременного наступления двух независимых событий равна произведению их индивидуальных вероятностей.

1) первым вынут красный шар, а вторым — чёрный;

Пусть событие $A$ — это вынимание красного шара. Вероятность этого события равна отношению числа красных шаров к общему числу шаров: $P(A) = \frac{3}{10}$

Пусть событие $B$ — это вынимание чёрного шара. Так как первый шар был возвращен в урну, общее число шаров и число чёрных шаров остались прежними. Вероятность этого события: $P(B) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Вероятность того, что первым вынут красный шар, а вторым — чёрный, вычисляется как произведение вероятностей этих независимых событий: $P(\text{A и B}) = P(A) \times P(B) = \frac{3}{10} \times \frac{5}{10} = \frac{15}{100} = \frac{3}{20} = 0,15$

Ответ: $0,15$

2) первым вынут чёрный шар, а вторым — белый?

Пусть событие $C$ — это вынимание чёрного шара. Вероятность этого события: $P(C) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Пусть событие $D$ — это вынимание белого шара. Вероятность этого события: $P(D) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Вероятность того, что первым вынут чёрный шар, а вторым — белый, равна произведению вероятностей этих независимых событий: $P(\text{C и D}) = P(C) \times P(D) = \frac{5}{10} \times \frac{2}{10} = \frac{10}{100} = \frac{1}{10} = 0,1$

Ответ: $0,1$

542. Бросают три игральные кости. Найти вероятность выпадения чётного числа очков на каждой кости.

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $P$ вычисляется по формуле $P = \frac{M}{N}$, где $N$ — это общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $M$ — число исходов, благоприятствующих событию.

1. Сначала найдем общее число всех возможных исходов ($N$).
При броске одной игральной кости может выпасть одно из шести чисел (от 1 до 6). Поскольку бросают три игральные кости, и результаты их бросков являются независимыми событиями, общее число комбинаций находится путем перемножения числа исходов для каждой кости:

$N = 6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216$.

Таким образом, существует 216 различных исходов при броске трех костей.

2. Теперь найдем число исходов, благоприятствующих нашему событию ($M$).
Благоприятным исходом считается выпадение чётного числа очков на каждой из костей. На стандартной игральной кости есть три чётных числа: 2, 4 и 6.Следовательно, для каждой из трех костей есть по 3 благоприятных исхода. Чтобы найти общее число благоприятных комбинаций, мы перемножаем количество благоприятных исходов для каждой кости:

$M = 3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27$.

Таким образом, существует 27 исходов, при которых на всех трех костях выпадают чётные числа.

3. Наконец, вычислим искомую вероятность.
Подставим значения $M$ и $N$ в формулу вероятности:

$P = \frac{M}{N} = \frac{27}{216}$.

Сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на 27:

$P = \frac{27 \div 27}{216 \div 27} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $1/8$.

543. Дважды бросают игральную кость. Событие A — при первом бросании выпало 6 очков, событие B — в результате второго бросания появилось число очков, кратное трём. Найти вероятность события $ \overline{AB} $.

В данной задаче рассматривается эксперимент с двукратным бросанием игральной кости. Игральная кость имеет 6 граней с числами от 1 до 6.

Событие $A$ заключается в том, что при первом бросании выпало 6 очков. Всего при одном броске возможно 6 равновероятных исходов. Благоприятным для события $A$ является только один исход — выпадение числа 6. Следовательно, вероятность события $A$ равна: $P(A) = \frac{1}{6}$

Событие $B$ заключается в том, что в результате второго бросания появилось число очков, кратное трём. Среди чисел на гранях кости (1, 2, 3, 4, 5, 6) кратными трём являются два числа: 3 и 6. Таким образом, для события $B$ существует 2 благоприятных исхода из 6 возможных. Вероятность события $B$ равна: $P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Событие $AB$ (произведение событий) означает, что произошли оба события: и событие $A$, и событие $B$. То есть, при первом бросании выпало 6 очков, а при втором — число, кратное трём.

Поскольку результаты первого и второго бросков кости не влияют друг на друга, события $A$ и $B$ являются независимыми. Вероятность одновременного наступления двух независимых событий равна произведению их вероятностей: $P(AB) = P(A) \times P(B)$

Подставим вычисленные значения вероятностей в формулу: $P(AB) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{18}$

Ответ: $\frac{1}{18}$

544. Дважды бросают игральную кость. Событие A — первый раз выпало чётное число, событие B — второй раз выпало число, меньшее трёх. Найти вероятность события $ \overline{AB} $.

По условию задачи, игральную кость бросают дважды. Рассмотрим события:

• Событие A — первый раз выпало чётное число.
• Событие B — второй раз выпало число, меньшее трёх.

Требуется найти вероятность события $A\overline{B}$. Это событие означает, что событие A произошло, и при этом событие B не произошло (то есть произошло событие $\overline{B}$, противоположное событию B).

Расшифруем события A и $\overline{B}$:

• Событие A: при первом броске выпало одно из чисел {2, 4, 6}.
• Событие $\overline{B}$: при втором броске выпало число не меньшее трёх. Числа, меньшие трёх, — это {1, 2}. Значит, все остальные исходы — {3, 4, 5, 6} — являются благоприятными для события $\overline{B}$.

Результаты двух бросков игральной кости являются независимыми событиями. Вероятность одновременного наступления двух независимых событий равна произведению их вероятностей. Таким образом, формула для вычисления искомой вероятности будет:

$P(A\overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B})$

1. Найдем вероятность события A.
При одном броске кости всего 6 равновозможных исходов: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Благоприятными для события A (выпало чётное число) являются 3 исхода: {2, 4, 6}.
Вероятность события A: $P(A) = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

2. Найдем вероятность события $\overline{B}$.
Благоприятными для события $\overline{B}$ (выпало число не меньше трёх) являются 4 исхода: {3, 4, 5, 6}.
Общее число исходов для второго броска также равно 6.
Вероятность события $\overline{B}$: $P(\overline{B}) = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

3. Вычислим вероятность события $A\overline{B}$.
Теперь, зная вероятности $P(A)$ и $P(\overline{B})$, мы можем найти их произведение: $P(A\overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$