Страница 218 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Какие события называют случайными? достоверными? не-возможными?

В теории вероятностей события классифицируют в зависимости от того, могут ли они произойти в результате некоторого испытания (опыта).

Случайными называют события, которые при определённых условиях могут произойти, а могут и не произойти. Исход таких событий невозможно предсказать со стопроцентной уверенностью. Большинство событий, с которыми мы сталкиваемся в жизни, являются случайными.

Примеры:

• Выпадение «орла» при подбрасывании монеты.
• Выпадение шести очков при броске игрального кубика.
• Выигрыш или проигрыш в лотерею.

Вероятность случайного события, обозначаемая как `$P(A)$`, является числом, строго большим нуля и строго меньшим единицы: `$0 < P(A) < 1$`. Чем ближе значение вероятности к 1, тем более вероятно, что событие произойдет.

Ответ: Случайное событие — это событие, которое в результате опыта может как произойти, так и не произойти.

Достоверными называют события, которые в результате испытания обязательно произойдут. В наступлении такого события нет никакой неопределённости, оно гарантировано условиями опыта.

Примеры:

• При броске игрального кубика выпадет число, меньшее 7.
• Если из коробки с красными шарами вытащить один шар, он будет красным.
• Вода, нагретая до 100 °C при нормальном атмосферном давлении, закипит.

Вероятность достоверного события всегда равна единице: `$P(A) = 1$`. Это означает 100%-ную гарантию наступления события.

Ответ: Достоверное событие — это событие, которое при заданных условиях обязательно произойдёт.

Невозможными называют события, которые в результате данного испытания заведомо не могут произойти. Их наступление полностью исключено условиями опыта.

Примеры:

• Выпадение числа 8 при броске стандартного шестигранного кубика.
• Вытащить белый шар из ящика, в котором лежат только чёрные шары.
• День рождения человека в один год выпадает на 30 февраля.

Вероятность невозможного события всегда равна нулю: `$P(A) = 0$`. Это означает, что событие не произойдет ни при каких обстоятельствах в рамках данного опыта.

Ответ: Невозможное событие — это событие, которое в данном опыте произойти не может.

2. Что называют суммой событий?

В теории вероятностей суммой (или объединением) двух событий $A$ и $B$ называют событие $C$, которое заключается в том, что в результате испытания произойдет хотя бы одно из этих событий. То есть, произойдет или событие $A$, или событие $B$, или оба события вместе (если они совместимы).

Сумму событий $A$ и $B$ принято обозначать как $A + B$ или $A \cup B$.

Пример: Проводится испытание — бросается игральная кость.

• Пусть событие $A$ — «выпало четное число очков». Этому событию благоприятствуют исходы: 2, 4, 6.
• Пусть событие $B$ — «выпало число очков, кратное трем». Этому событию благоприятствуют исходы: 3, 6.

Тогда событие $C = A + B$ — «выпало четное число очков или число, кратное трем». Этому событию будут благоприятствовать все исходы, входящие хотя бы в одно из событий $A$ или $B$: 2, 3, 4, 6.

Вероятность суммы событий вычисляется по-разному в зависимости от того, являются ли события совместными или несовместными.

1. Несовместные события
События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в том же испытании. Для таких событий вероятность их суммы равна сумме их вероятностей (теорема сложения вероятностей):
$P(A + B) = P(A) + P(B)$

2. Совместные события
События называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в том же испытании. Для совместных событий вероятность их суммы вычисляется по более общей формуле:
$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)$
где $P(AB)$ — вероятность совместного наступления событий $A$ и $B$ (их произведения). В приведенном выше примере с игральной костью события $A$ и $B$ совместны, так как исход «выпало 6» благоприятствует обоим событиям.

Ответ: Суммой событий называют такое событие, которое происходит тогда, когда происходит хотя бы одно из этих событий.

3. Что называют произведением событий?

Определение

В теории вероятностей, произведением (или пересечением) двух событий A и B называется третье событие C, которое заключается в том, что в результате испытания происходят оба этих события одновременно. Иными словами, событие C наступает тогда и только тогда, когда наступают и событие A, и событие B.

Это понятие можно обобщить на любое количество событий. Произведением событий $A_1, A_2, \dots, A_n$ называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Обозначение

Произведение событий A и B обычно обозначается одним из следующих способов: $A \cdot B$, $AB$, или $A \cap B$ (это обозначение из теории множеств, где пересечение множеств соответствует произведению событий). Таким образом, можно записать, что новое событие $C = AB$.

Пример

Рассмотрим эксперимент с подбрасыванием игрального кубика, у которого 6 граней.
Пусть событие A — «выпало четное число очков». Этому событию благоприятствуют исходы: $\{2, 4, 6\}$.
Пусть событие B — «выпало число очков, большее 3». Этому событию благоприятствуют исходы: $\{4, 5, 6\}$.
Тогда произведением событий A и B будет событие C = AB, которое означает, что «выпало четное число очков, и при этом оно больше 3».
Этому событию благоприятствуют исходы, которые принадлежат и множеству исходов для A, и множеству исходов для B. Это исходы $\{4, 6\}$.

Визуально произведение событий можно представить с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Если события A и B изображены в виде кругов, то их произведение $A \cap B$ — это область их пересечения (общая часть).

Вероятность произведения событий

Вероятность произведения двух событий (их совместного наступления) вычисляется по общей теореме умножения вероятностей:
$P(AB) = P(A) \cdot P(B|A) = P(B) \cdot P(A|B)$
где $P(B|A)$ — это условная вероятность события B при условии, что событие A уже произошло, а $P(A|B)$ — условная вероятность события A при условии, что событие B произошло.

В частном, но очень важном случае, когда события A и B являются независимыми (то есть наступление одного не влияет на вероятность наступления другого), формула значительно упрощается (теорема умножения для независимых событий):
$P(AB) = P(A) \cdot P(B)$

Ответ: Произведением событий называют новое событие, которое состоит в совместном наступлении (появлении) всех этих событий в результате одного испытания.

4. Какое событие называют противоположным данному событию?

В теории вероятностей событием, противоположным данному событию $A$, называют событие, которое наступает в том и только в том случае, когда не наступает событие $A$. Иными словами, это событие, состоящее из всех элементарных исходов, которые не входят в событие $A$.

Противоположное событие для события $A$ обычно обозначают как $\bar{A}$ (читается «не А» или «А с чертой»).

Ключевые свойства противоположных событий:

• Событие $A$ и противоположное ему $\bar{A}$ являются несовместными, то есть они не могут произойти одновременно в результате одного и того же испытания.
• Объединение события $A$ и его противоположности $\bar{A}$ образует достоверное событие (пространство всех элементарных исходов). Это означает, что в результате испытания обязательно произойдет либо событие $A$, либо событие $\bar{A}$.

Из этих свойств вытекает фундаментальное соотношение для вероятностей: сумма вероятностей противоположных событий всегда равна 1.

$P(A) + P(\bar{A}) = 1$

Эта формула очень полезна для расчетов, поскольку позволяет найти вероятность одного события через вероятность другого:

$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

Примеры:

1. Испытание: подбрасывание игральной кости.
   Событие $A$: «выпало четное число очков» (исходы 2, 4, 6).
   Противоположное событие $\bar{A}$: «выпало нечетное число очков» (исходы 1, 3, 5).
2. Испытание: выстрел по мишени.
   Событие $B$: «попадание в мишень».
   Противоположное событие $\bar{B}$: «промах».
3. Испытание: из ящика с белыми и черными шарами наугад достают один шар.
   Событие $C$: «вытащили белый шар».
   Противоположное событие $\bar{C}$: «вытащили не белый шар», то есть «вытащили черный шар».

Ответ: Противоположным данному событию называют событие, которое заключается в том, что данное событие не происходит.

5. Какие события называют равновозможными?

Равновозможными (или равновероятными) событиями в теории вероятностей называют такие события, у которых шансы на наступление в результате случайного эксперимента абсолютно одинаковы. Это значит, что нет никаких объективных причин полагать, что одно из этих событий может произойти чаще, чем любое другое. Соответственно, вероятность каждого из таких событий одинакова.

Классическим примером служат исходы при подбрасывании симметричной («честной») монеты. События «выпал орёл» и «выпала решка» являются равновозможными, так как нет никаких оснований считать, что одна сторона будет выпадать чаще другой. Вероятность каждого исхода в этом случае равна $1/2$.

Другой пример — бросок стандартного игрального кубика. Если кубик идеален, то выпадение любой из его шести граней (от 1 до 6) является равновозможным событием. Вероятность каждого из этих шести исходов составляет $1/6$.

Важно понимать, что не все исходы любого эксперимента равновозможны. Например, если в урне находятся 2 белых и 5 чёрных шаров, то события «вынуть белый шар» и «вынуть чёрный шар» не являются равновозможными. Шанс вынуть чёрный шар выше ($5/7$), чем шанс вынуть белый ($2/7$), поскольку чёрных шаров больше.

Понятие равновозможных исходов лежит в основе классического определения вероятности. Если случайный эксперимент имеет $n$ равновозможных элементарных исходов, и некоторое событие $A$ наступает при $m$ из этих исходов (так называемых благоприятных исходов), то вероятность события $A$ вычисляется по формуле: $$P(A) = \frac{m}{n}$$

Ответ: Равновозможными называют события, которые в рамках одного случайного эксперимента имеют одинаковые шансы (вероятности) на наступление.

6. Что называют вероятностью (в классическом понимании) события А?

В классическом понимании, вероятностью события А называют отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу всех равновозможных элементарных исходов, которые могут произойти в результате некоторого испытания (опыта).

Для применения этого определения необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

1. Число всех возможных исходов испытания конечно.

2. Все исходы являются несовместными (в результате испытания не могут произойти два исхода одновременно).

3. Все исходы равновозможны (нет объективных причин считать, что какой-либо исход является более предпочтительным, чем другие).

Вероятность события А обозначается как $P(A)$ и вычисляется по следующей формуле:

$P(A) = \frac{m}{n}$

где:
$m$ — число элементарных исходов, благоприятствующих событию А (то есть тех исходов, при которых событие А наступает);
$n$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов испытания.

Из этого определения следуют важные свойства:

- Вероятность любого события — это число, заключенное в отрезке от 0 до 1: $0 \le P(A) \le 1$.

- Вероятность невозможного события (которому не благоприятствует ни один исход, $m=0$) равна 0.

- Вероятность достоверного события (которому благоприятствуют все возможные исходы, $m=n$) равна 1.

Например, при броске игрального кубика общее число равновозможных исходов $n=6$. Пусть событие А — "выпало число очков, кратное 3". Благоприятствующими исходами для события А являются "3" и "6", то есть их число $m=2$. Тогда вероятность события А равна $P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: Вероятностью события A в классическом понимании называют отношение числа $m$ исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу $n$ всех равновозможных и несовместных элементарных исходов. Вероятность рассчитывается по формуле $P(A) = \frac{m}{n}$.

7. Какие события называют несовместными?

В теории вероятностей два события называют несовместными (или взаимоисключающими), если появление одного из них исключает появление другого в результате одного и того же испытания (или эксперимента). Иными словами, они не могут произойти одновременно.

На языке теории множеств это означает, что пересечение множеств исходов, соответствующих этим событиям, является пустым множеством. Если обозначить два события как $A$ и $B$, то они несовместны, если их пересечение пусто: $A \cap B = \emptyset$.

Следствием этого является то, что вероятность одновременного наступления двух несовместных событий равна нулю: $P(A \cap B) = 0$.

Для несовместных событий справедлива теорема сложения вероятностей в ее простейшей форме: вероятность того, что произойдет хотя бы одно из двух несовместных событий (их объединение), равна сумме их вероятностей: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Примеры несовместных событий:

• Подбрасывание монеты: События «выпал орёл» и «выпала решка» являются несовместными. При одном подбрасывании не может выпасть и орёл, и решка одновременно.
• Бросок игрального кубика: События «выпало 1 очко» и «выпало 6 очков» являются несовместными. Также несовместными будут события «выпало чётное число очков» и «выпало нечётное число очков».

Для сравнения, пример совместных (то есть не являющихся несовместными) событий:

• Бросок игрального кубика: События $A$ = «выпало чётное число очков» (исходы 2, 4, 6) и $B$ = «выпало число очков, большее 3» (исходы 4, 5, 6) являются совместными, так как они могут произойти одновременно, если выпадет 4 или 6. Их пересечение не пусто: $A \cap B = \{4, 6\}$.

Ответ: Несовместными называют такие события, которые не могут произойти одновременно в одном и том же испытании.

8. Чему равна вероятность суммы двух несовместных событий?

Чтобы ответить на этот вопрос, сперва определим ключевые понятия.

Несовместные события — это события, которые не могут произойти одновременно в одном и том же испытании. Если происходит одно из них, то другое произойти уже не может. Например, при однократном подбрасывании монеты события «выпал орёл» и «выпала решка» являются несовместными. В терминах теории множеств, пересечение таких событий является пустым множеством.

Сумма событий (или объединение) A и B — это событие, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из этих событий: либо A, либо B. Сумма событий обозначается как $A+B$ или $A \cup B$.

В теории вероятностей существует общая теорема сложения вероятностей для двух произвольных событий A и B:
$P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A \cdot B)$
где $P(A)$ и $P(B)$ — вероятности событий A и B соответственно, а $P(A \cdot B)$ — вероятность их совместного наступления (произведения или пересечения событий).

Для несовместных событий их одновременное наступление невозможно по определению. Это значит, что их произведение $A \cdot B$ является невозможным событием, а вероятность невозможного события равна нулю: $P(A \cdot B) = 0$.

Подставив это значение в общую формулу, мы получаем частный случай — теорему сложения для несовместных событий:
$P(A+B) = P(A) + P(B) - 0$
$P(A+B) = P(A) + P(B)$

Таким образом, вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Пример:
В корзине лежат 5 красных, 3 синих и 2 зеленых шара. Какова вероятность вытащить красный или синий шар?
Событие A: «вытащили красный шар». Всего шаров 10, красных — 5. $P(A) = 5/10 = 1/2$.
Событие B: «вытащили синий шар». Всего шаров 10, синих — 3. $P(B) = 3/10$.
Эти события несовместны, так как нельзя одновременно вытащить шар, который будет и красным, и синим.
Вероятность вытащить красный или синий шар (событие A+B) равна:
$P(A+B) = P(A) + P(B) = 5/10 + 3/10 = 8/10 = 0.8$.

Ответ: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей. Если A и B — несовместные события, то вероятность их суммы вычисляется по формуле: $P(A+B) = P(A) + P(B)$.

9. Какие события называют независимыми?

В теории вероятностей два случайных события называют независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Иными словами, информация о том, произошло ли одно событие, никак не влияет на наши знания о вероятности другого.

Формальное математическое определение гласит: два события $A$ и $B$ являются независимыми, если и только если вероятность их совместного наступления (то есть, что произойдут оба события) равна произведению их индивидуальных вероятностей. Это выражается следующей формулой (теорема умножения вероятностей для независимых событий):
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
где $P(A \cap B)$ — вероятность того, что произойдут и событие $A$, и событие $B$; $P(A)$ — вероятность наступления события $A$; $P(B)$ — вероятность наступления события $B$.

Данное определение эквивалентно определению через условную вероятность. Если вероятность события $B$ больше нуля ($P(B) > 0$), то события $A$ и $B$ независимы тогда и только тогда, когда условная вероятность события $A$ при условии, что событие $B$ уже произошло, равна безусловной вероятности события $A$:$P(A|B) = P(A)$.Это как раз и означает, что знание о наступлении события $B$ не меняет вероятность наступления события $A$.

Для наглядности рассмотрим примеры.
Пример независимых событий: Подбрасывание монеты дважды. Пусть событие $A$ — «при первом броске выпал орёл», а событие $B$ — «при втором броске выпал орёл». Вероятность каждого из этих событий $P(A) = 1/2$ и $P(B) = 1/2$. Результат первого броска никак не влияет на результат второго. События независимы, и вероятность выпадения двух орлов подряд равна $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
Пример зависимых событий: Извлечение двух карт из колоды (52 карты) без возвращения. Пусть событие $A$ — «первая карта — король», а событие $B$ — «вторая карта — король». Изначально $P(A) = 4/52 = 1/13$. Если событие $A$ произошло, то в колоде осталась 51 карта, из которых 3 короля. Тогда вероятность вытащить второго короля $P(B|A) = 3/51 = 1/17$. Поскольку $P(B|A)$ не равно безусловной вероятности $P(B)$, которая также составляет $1/13$, события являются зависимыми.

Ответ: Независимыми называют такие события, для которых вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей ($P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$). Простыми словами, это события, наступление одного из которых не влияет на вероятность наступления другого.

10. Чему равна вероятность суммы двух произвольных событий, которые могут произойти в одном опыте?

Вероятность суммы двух произвольных событий, которые могут произойти в одном опыте, определяется по общей теореме сложения вероятностей.

Пусть у нас есть два произвольных события, A и B. Суммой (или объединением) этих событий, обозначаемой как $A+B$ или $A \cup B$, называется событие, состоящее в том, что произойдет хотя бы одно из событий: либо A, либо B, либо оба события вместе.

Вероятность суммы двух произвольных событий вычисляется по формуле:

$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)$

Здесь:
$P(A+B)$ – вероятность наступления хотя бы одного из событий A или B.
$P(A)$ – вероятность наступления события A.
$P(B)$ – вероятность наступления события B.
$P(AB)$ – вероятность совместного наступления (произведения) событий A и B. Это вероятность того, что оба события произойдут в рамках одного и того же опыта.

Эта формула верна для любых событий, поэтому она и называется теоремой сложения для произвольных событий. События A и B могут быть совместными, то есть их одновременное наступление возможно. Член $P(AB)$ вычитается, так как при простом сложении $P(A) + P(B)$ вероятность исходов, при которых события A и B наступают одновременно, учитывается дважды. Вычитание устраняет это двойное суммирование.

В частном случае, когда события A и B являются несовместными (то есть не могут произойти одновременно), вероятность их совместного наступления равна нулю: $P(AB) = 0$. Тогда формула упрощается до $P(A + B) = P(A) + P(B)$. Однако для произвольных событий, как указано в вопросе, необходимо использовать общую формулу.

Ответ: Вероятность суммы двух произвольных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий за вычетом вероятности их совместного наступления (произведения). Математически это выражается формулой: $P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)$.

11. Записать формулу Бернулли и пояснить её смысл.

Записать формулу Бернулли

Формула Бернулли, которая позволяет вычислить вероятность того, что в серии из $n$ независимых испытаний некоторое событие произойдет ровно $k$ раз, имеет следующий вид:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$

В данной формуле используются следующие обозначения:
$P_n(k)$ — вероятность того, что событие наступит ровно $k$ раз в $n$ испытаниях;
$n$ — общее число независимых испытаний;
$k$ — количество «успехов» (наступлений интересующего события) в $n$ испытаниях, где $k$ может принимать значения от 0 до $n$;
$p$ — вероятность «успеха» в одном отдельном испытании (эта вероятность постоянна для всех испытаний);
$q$ — вероятность «неудачи» (ненаступления события) в одном отдельном испытании, которая вычисляется как $q = 1 - p$;
$C_n^k$ — биномиальный коэффициент, или число сочетаний из $n$ по $k$. Он показывает, сколькими способами можно выбрать $k$ «успешных» исходов из $n$ общих испытаний. Формула для расчета: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Ответ: Формула Бернулли для вероятности $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$.

Пояснить её смысл

Смысл формулы Бернулли заключается в том, что она является инструментом для анализа так называемой схемы испытаний Бернулли. Эта схема описывает эксперименты, которые должны удовлетворять ряду строгих условий:

1. Проводится фиксированное число испытаний ($n$).
2. Все испытания являются независимыми друг от друга (т.е. результат одного испытания не влияет на результаты других).
3. Каждое испытание имеет ровно два взаимоисключающих исхода, которые условно именуются «успех» и «неудача».
4. Вероятность «успеха» ($p$) одинакова и постоянна для каждого испытания.

Формула Бернулли раскладывается на три логических множителя, которые объясняют её смысл:

1. $p^k$ — это вероятность того, что произойдет ровно $k$ «успехов». Поскольку испытания независимы, мы перемножаем их вероятности.
2. $q^{n-k}$ — это вероятность того, что в остальных $(n-k)$ случаях произойдет «неудача».
3. $C_n^k$ — это число сочетаний. Произведение $p^k q^{n-k}$ дает вероятность лишь одной конкретной последовательности из $k$ успехов и $n-k$ неудач (например, УУ...УНН...Н). Однако «успехи» могут произойти в любом порядке. Биномиальный коэффициент $C_n^k$ как раз и подсчитывает, сколько всего существует таких уникальных последовательностей (комбинаций).

Таким образом, формула Бернулли умножает вероятность одной из благоприятных комбинаций на общее число таких комбинаций, что в итоге дает общую вероятность наступления ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях, независимо от порядка их появления.

Ответ: Смысл формулы Бернулли в том, чтобы определять вероятность получения ровно $k$ «успехов» в серии из $n$ независимых испытаний с двумя исходами. Она объединяет вероятность одной конкретной последовательности, состоящей из $k$ успехов и $n-k$ неудач, с общим количеством всех возможных таких последовательностей.

1. Бросают 2 монеты. Какова вероятность того, что на обеих монетах выпадет орёл?

Для решения этой задачи по теории вероятностей воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $P$ равна отношению числа благоприятных для этого события исходов ($m$) к общему числу всех равновозможных исходов ($N$). Формула выглядит так: $P = \frac{m}{N}$.

Сначала найдем общее число всех равновозможных исходов. При броске двух монет у нас есть следующие возможные комбинации, где "О" – орёл, а "Р" – решка:
1. Первая монета – Орёл, вторая монета – Орёл (О, О)
2. Первая монета – Орёл, вторая монета – Решка (О, Р)
3. Первая монета – Решка, вторая монета – Орёл (Р, О)
4. Первая монета – Решка, вторая монета – Решка (Р, Р)
Таким образом, общее число всех равновозможных исходов $N = 4$.

Теперь определим число благоприятных исходов. Нас интересует событие, когда "на обеих монетах выпадет орёл". Этому условию соответствует только один исход из четырёх возможных: (О, О).
Следовательно, число благоприятных исходов $m = 1$.

Теперь мы можем рассчитать искомую вероятность, подставив найденные значения в формулу:
$P = \frac{m}{N} = \frac{1}{4}$

Эту дробь можно также представить в десятичном виде: $0.25$ или в процентах: $25\%$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

2. Вероятность извлечения из партии одной бракованной детали равна 0,05. Какова вероятность того, что наугад извлечённая деталь окажется небракованной?

Пусть событие A заключается в том, что извлеченная деталь является бракованной. По условию, вероятность этого события равна $P(A) = 0,05$.

Событие, при котором извлеченная деталь окажется небракованной, является противоположным (или дополнительным) событию A. Обозначим его как $\bar{A}$.

Сумма вероятностей двух противоположных событий всегда равна единице. Это можно выразить формулой:

$P(A) + P(\bar{A}) = 1$

Для того чтобы найти вероятность того, что деталь окажется небракованной, нужно из 1 вычесть вероятность того, что она бракованная:

$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

Подставим известное значение:

$P(\bar{A}) = 1 - 0,05 = 0,95$

Ответ: 0,95

3. В ящике лежат 2 чёрных, 3 белых и 10 красных шаров. Какова вероятность того, что наугад вынутый один шар окажется или чёрного, или белого цвета?

Для решения этой задачи по теории вероятностей, сначала определим общее количество шаров в ящике, что представляет собой общее число всех возможных исходов при вынимании одного шара.

Общее количество шаров $N$ равно сумме чёрных, белых и красных шаров:

$N = 2 \text{ (чёрных)} + 3 \text{ (белых)} + 10 \text{ (красных)} = 15$ шаров.

Далее определим количество благоприятных исходов. Благоприятным исходом в данном случае является событие, при котором вынутый шар оказывается или чёрного, или белого цвета.

Количество благоприятных исходов $m$ равно сумме количества чёрных и белых шаров:

$m = 2 \text{ (чёрных)} + 3 \text{ (белых)} = 5$ шаров.

Вероятность события $P$ вычисляется по классической формуле как отношение числа благоприятных исходов $m$ к общему числу возможных исходов $N$.

Формула вероятности: $P = \frac{m}{N}$

Подставим наши значения в формулу:

$P = \frac{5}{15}$

Сократим полученную дробь:

$P = \frac{1}{3}$

Таким образом, вероятность того, что наугад вынутый шар окажется или чёрного, или белого цвета, равна $\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

4. В вазе лежат 3 апельсина и 5 яблок. Мальчик не глядя берёт из вазы один плод, затем, не возвращая его, берёт другой. Найти вероятность того, что первым был взят апельсин, а вторым — яблоко.

Для решения этой задачи необходимо найти вероятность последовательного наступления двух зависимых событий. Рассчитаем эту вероятность поэтапно.

1. Вероятность взять первым апельсин.

Изначально в вазе находится 3 апельсина и 5 яблок. Общее количество плодов:

$3 + 5 = 8$

Вероятность того, что первым случайным образом взятый плод окажется апельсином, равна отношению количества апельсинов к общему количеству плодов:

$P_1(\text{апельсин}) = \frac{3}{8}$

2. Вероятность взять вторым яблоко.

После того, как из вазы взяли один апельсин, в ней осталось $8 - 1 = 7$ плодов. При этом количество апельсинов уменьшилось до 2, а количество яблок осталось прежним — 5.

Теперь вероятность того, что второй взятый плод будет яблоком (при условии, что первым был апельсин), равна отношению количества яблок к новому общему количеству плодов:

$P_2(\text{яблоко} | \text{первый был апельсин}) = \frac{5}{7}$

3. Общая вероятность.

Чтобы найти итоговую вероятность того, что первым был взят апельсин, а вторым — яблоко, нужно перемножить вероятности этих двух последовательных событий:

$P(\text{апельсин, затем яблоко}) = P_1(\text{апельсин}) \times P_2(\text{яблоко} | \text{первый был апельсин})$

$P = \frac{3}{8} \times \frac{5}{7} = \frac{15}{56}$

Ответ: Вероятность того, что первым был взят апельсин, а вторым — яблоко, равна $\frac{15}{56}$.

5. Вероятность попадания стрелком в мишень при одном выстреле равна 0,8. Какова вероятность попадания в мишень в каждом из двух произведённых выстрелов?

Для решения этой задачи нужно найти вероятность совместного наступления двух независимых событий: попадание при первом выстреле и попадание при втором выстреле.

Пусть событие $A_1$ — это попадание в мишень при первом выстреле, а событие $A_2$ — это попадание в мишень при втором выстреле.

По условию задачи, вероятность попадания стрелком в мишень при одном выстреле равна 0,8. Следовательно, вероятности наступления каждого из этих событий равны:
$P(A_1) = 0,8$
$P(A_2) = 0,8$

Так как результаты выстрелов не зависят друг от друга, события $A_1$ и $A_2$ являются независимыми. Вероятность того, что произойдут оба независимых события (то есть стрелок попадет в мишень в каждом из двух выстрелов), равна произведению их вероятностей.

Искомую вероятность $P$ найдем по формуле умножения вероятностей для независимых событий:
$P = P(A_1) \times P(A_2)$

Подставим известные значения в формулу:
$P = 0,8 \times 0,8 = 0,64$

Ответ: 0,64

6. Ученик знал ответы на 15 вопросов из 20, которые предлагались к зачёту. Ответа на первый попавшийся на зачёте вопрос он не знал. Какова вероятность того, что ученик ответит на второй из предложенных ему вопросов?

Для решения этой задачи используется понятие условной вероятности. Нам нужно найти вероятность того, что ученик ответит на второй вопрос, при условии, что он не ответил на первый.

Изначально было 20 вопросов. Разделим их на две группы:

• Количество вопросов, на которые ученик знал ответ: 15.
• Количество вопросов, на которые ученик не знал ответ: $20 - 15 = 5$.

Согласно условию, произошло событие: ученик вытянул первый вопрос и не знал на него ответа. Это означает, что один вопрос из группы "незнакомых" был удален из общего числа вопросов.

Теперь проанализируем, сколько и каких вопросов осталось для второго выбора:

• Общее количество оставшихся вопросов: $20 - 1 = 19$.
• Количество вопросов, на которые ученик знает ответ, не изменилось: 15.
• Количество вопросов, на которые ученик не знает ответ, уменьшилось на один: $5 - 1 = 4$.

Вероятность того, что ученик ответит на второй вопрос, — это вероятность вытянуть "знакомый" вопрос из оставшихся. Она вычисляется как отношение числа благоприятных исходов (количество "знакомых" вопросов) к общему числу возможных исходов (общее количество оставшихся вопросов).

Число благоприятных исходов (ученик вытягивает вопрос, который знает) равно 15.

Общее число возможных исходов (количество всех оставшихся вопросов) равно 19.

Таким образом, искомая вероятность равна: $P = \frac{\text{число знакомых вопросов}}{\text{общее число оставшихся вопросов}} = \frac{15}{19}$

Ответ: $\frac{15}{19}$