Номер 11, страница 218 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе VI. Глава 6. Элементы теории вероятностей - номер 11, страница 218.

Условие.

11. Записать формулу Бернулли и пояснить её смысл.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Записать формулу Бернулли

Формула Бернулли, которая позволяет вычислить вероятность того, что в серии из $n$ независимых испытаний некоторое событие произойдет ровно $k$ раз, имеет следующий вид:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$

В данной формуле используются следующие обозначения:
$P_n(k)$ — вероятность того, что событие наступит ровно $k$ раз в $n$ испытаниях;
$n$ — общее число независимых испытаний;
$k$ — количество «успехов» (наступлений интересующего события) в $n$ испытаниях, где $k$ может принимать значения от 0 до $n$;
$p$ — вероятность «успеха» в одном отдельном испытании (эта вероятность постоянна для всех испытаний);
$q$ — вероятность «неудачи» (ненаступления события) в одном отдельном испытании, которая вычисляется как $q = 1 - p$;
$C_n^k$ — биномиальный коэффициент, или число сочетаний из $n$ по $k$. Он показывает, сколькими способами можно выбрать $k$ «успешных» исходов из $n$ общих испытаний. Формула для расчета: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Ответ: Формула Бернулли для вероятности $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$.

Пояснить её смысл

Смысл формулы Бернулли заключается в том, что она является инструментом для анализа так называемой схемы испытаний Бернулли. Эта схема описывает эксперименты, которые должны удовлетворять ряду строгих условий:

1. Проводится фиксированное число испытаний ($n$).
2. Все испытания являются независимыми друг от друга (т.е. результат одного испытания не влияет на результаты других).
3. Каждое испытание имеет ровно два взаимоисключающих исхода, которые условно именуются «успех» и «неудача».
4. Вероятность «успеха» ($p$) одинакова и постоянна для каждого испытания.

Формула Бернулли раскладывается на три логических множителя, которые объясняют её смысл:

1. $p^k$ — это вероятность того, что произойдет ровно $k$ «успехов». Поскольку испытания независимы, мы перемножаем их вероятности.
2. $q^{n-k}$ — это вероятность того, что в остальных $(n-k)$ случаях произойдет «неудача».
3. $C_n^k$ — это число сочетаний. Произведение $p^k q^{n-k}$ дает вероятность лишь одной конкретной последовательности из $k$ успехов и $n-k$ неудач (например, УУ...УНН...Н). Однако «успехи» могут произойти в любом порядке. Биномиальный коэффициент $C_n^k$ как раз и подсчитывает, сколько всего существует таких уникальных последовательностей (комбинаций).

Таким образом, формула Бернулли умножает вероятность одной из благоприятных комбинаций на общее число таких комбинаций, что в итоге дает общую вероятность наступления ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях, независимо от порядка их появления.

Ответ: Смысл формулы Бернулли в том, чтобы определять вероятность получения ровно $k$ «успехов» в серии из $n$ независимых испытаний с двумя исходами. Она объединяет вероятность одной конкретной последовательности, состоящей из $k$ успехов и $n-k$ неудач, с общим количеством всех возможных таких последовательностей.