Номер 9, страница 218 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе VI. Глава 6. Элементы теории вероятностей - номер 9, страница 218.

Условие.

9. Какие события называют независимыми?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

В теории вероятностей два случайных события называют независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Иными словами, информация о том, произошло ли одно событие, никак не влияет на наши знания о вероятности другого.

Формальное математическое определение гласит: два события $A$ и $B$ являются независимыми, если и только если вероятность их совместного наступления (то есть, что произойдут оба события) равна произведению их индивидуальных вероятностей. Это выражается следующей формулой (теорема умножения вероятностей для независимых событий):
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
где $P(A \cap B)$ — вероятность того, что произойдут и событие $A$, и событие $B$; $P(A)$ — вероятность наступления события $A$; $P(B)$ — вероятность наступления события $B$.

Данное определение эквивалентно определению через условную вероятность. Если вероятность события $B$ больше нуля ($P(B) > 0$), то события $A$ и $B$ независимы тогда и только тогда, когда условная вероятность события $A$ при условии, что событие $B$ уже произошло, равна безусловной вероятности события $A$:$P(A|B) = P(A)$.Это как раз и означает, что знание о наступлении события $B$ не меняет вероятность наступления события $A$.

Для наглядности рассмотрим примеры.
Пример независимых событий: Подбрасывание монеты дважды. Пусть событие $A$ — «при первом броске выпал орёл», а событие $B$ — «при втором броске выпал орёл». Вероятность каждого из этих событий $P(A) = 1/2$ и $P(B) = 1/2$. Результат первого броска никак не влияет на результат второго. События независимы, и вероятность выпадения двух орлов подряд равна $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
Пример зависимых событий: Извлечение двух карт из колоды (52 карты) без возвращения. Пусть событие $A$ — «первая карта — король», а событие $B$ — «вторая карта — король». Изначально $P(A) = 4/52 = 1/13$. Если событие $A$ произошло, то в колоде осталась 51 карта, из которых 3 короля. Тогда вероятность вытащить второго короля $P(B|A) = 3/51 = 1/17$. Поскольку $P(B|A)$ не равно безусловной вероятности $P(B)$, которая также составляет $1/13$, события являются зависимыми.

Ответ: Независимыми называют такие события, для которых вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей ($P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$). Простыми словами, это события, наступление одного из которых не влияет на вероятность наступления другого.