Номер 8, страница 218 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 6. Элементы теории вероятностей. Вопросы к главе VI - номер 8, страница 218.

Условие.

8. Чему равна вероятность суммы двух несовместных событий?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы ответить на этот вопрос, сперва определим ключевые понятия.

Несовместные события — это события, которые не могут произойти одновременно в одном и том же испытании. Если происходит одно из них, то другое произойти уже не может. Например, при однократном подбрасывании монеты события «выпал орёл» и «выпала решка» являются несовместными. В терминах теории множеств, пересечение таких событий является пустым множеством.

Сумма событий (или объединение) A и B — это событие, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из этих событий: либо A, либо B. Сумма событий обозначается как $A+B$ или $A \cup B$.

В теории вероятностей существует общая теорема сложения вероятностей для двух произвольных событий A и B:
$P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A \cdot B)$
где $P(A)$ и $P(B)$ — вероятности событий A и B соответственно, а $P(A \cdot B)$ — вероятность их совместного наступления (произведения или пересечения событий).

Для несовместных событий их одновременное наступление невозможно по определению. Это значит, что их произведение $A \cdot B$ является невозможным событием, а вероятность невозможного события равна нулю: $P(A \cdot B) = 0$.

Подставив это значение в общую формулу, мы получаем частный случай — теорему сложения для несовместных событий:
$P(A+B) = P(A) + P(B) - 0$
$P(A+B) = P(A) + P(B)$

Таким образом, вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Пример:
В корзине лежат 5 красных, 3 синих и 2 зеленых шара. Какова вероятность вытащить красный или синий шар?
Событие A: «вытащили красный шар». Всего шаров 10, красных — 5. $P(A) = 5/10 = 1/2$.
Событие B: «вытащили синий шар». Всего шаров 10, синих — 3. $P(B) = 3/10$.
Эти события несовместны, так как нельзя одновременно вытащить шар, который будет и красным, и синим.
Вероятность вытащить красный или синий шар (событие A+B) равна:
$P(A+B) = P(A) + P(B) = 5/10 + 3/10 = 8/10 = 0.8$.

Ответ: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей. Если A и B — несовместные события, то вероятность их суммы вычисляется по формуле: $P(A+B) = P(A) + P(B)$.