Страница 219 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Вероятность попадания стрелком в мишень при одном выстреле равна 0,9. Какова вероятность того, что после двух выстрелов в мишени окажется одна пуля?

Обозначим вероятность попадания в мишень при одном выстреле как $p$. По условию задачи, $p = 0,9$.

Тогда вероятность промаха при одном выстреле, которую мы обозначим как $q$, будет равна:
$q = 1 - p = 1 - 0,9 = 0,1$.

Событие "в мишени окажется одна пуля после двух выстрелов" означает, что один выстрел был удачным (попадание), а другой — неудачным (промах). Существуют два взаимоисключающих варианта, как это могло произойти:

1. Первый выстрел — попадание, второй выстрел — промах.
2. Первый выстрел — промах, второй выстрел — попадание.

Так как выстрелы являются независимыми событиями, мы можем вычислить вероятность каждого варианта, перемножив вероятности отдельных событий.

Вероятность первого варианта (попадание, затем промах):
$P_1 = p \cdot q = 0,9 \cdot 0,1 = 0,09$.

Вероятность второго варианта (промах, затем попадание):
$P_2 = q \cdot p = 0,1 \cdot 0,9 = 0,09$.

Искомая вероятность — это сумма вероятностей этих двух несовместных вариантов, так как нам подходит и первый, и второй случай.
$P_{общ} = P_1 + P_2 = 0,09 + 0,09 = 0,18$.

Ответ: 0,18

2. Вероятность попадания стрелком в мишень при одном выстреле равна 0,8. Какова вероятность того, что мишень после трёх выстрелов будет поражена хотя бы одним выстрелом?

Для решения этой задачи удобнее всего использовать метод вычисления через противоположное событие. Искомое событие — «мишень после трёх выстрелов будет поражена хотя бы одним выстрелом». Противоположное ему событие — «мишень не будет поражена ни одним из трёх выстрелов», то есть стрелок промахнётся все три раза.

Пусть $p$ — вероятность попадания в мишень при одном выстреле. По условию задачи, $p = 0,8$.

Тогда вероятность промаха при одном выстреле, обозначим её $q$, будет равна разности единицы и вероятности попадания:
$q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2$.

Так как каждый выстрел является независимым событием, вероятность того, что стрелок промахнётся три раза подряд, равна произведению вероятностей этих трёх промахов:
$P(\text{3 промаха}) = q \cdot q \cdot q = q^3 = (0,2)^3 = 0,008$.

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Следовательно, вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы один раз, равна разности единицы и вероятности того, что стрелок промахнётся все три раза.
$P(\text{хотя бы одно попадание}) = 1 - P(\text{3 промаха}) = 1 - 0,008 = 0,992$.

Ответ: 0,992

3. В коробке лежат 20 одинаковых по форме шаров, причём 8 из них легче остальных. Известно, что произвольные 5 шаров из 20 окрашены в красный цвет. Какова вероятность того, что случайным образом вынутый один шар окажется не красным, но лёгким шаром?

Для решения этой задачи по теории вероятностей необходимо определить количество шаров с нужными нам свойствами и соотнести его с общим количеством шаров.

Для начала разберем исходные данные:

• Общее количество шаров в коробке: 20.
• Количество легких шаров: 8.
• Количество тяжелых (не легких) шаров: $20 - 8 = 12$.
• Количество красных шаров: 5.
• Количество не красных шаров: $20 - 5 = 15$.

Нам нужно найти вероятность того, что случайным образом вынутый шар окажется "не красным, но легким".

Ключевая фраза в условии — "произвольные 5 шаров из 20 окрашены в красный цвет". Это означает, что свойства веса и цвета являются независимыми. То есть, процесс окрашивания шаров был случайным и не зависел от их веса. Для независимых событий вероятность их одновременного выполнения равна произведению их отдельных вероятностей.

Определим два независимых события:

1. Событие A: случайным образом вынутый шар является легким.
2. Событие B: случайным образом вынутый шар является не красным.

Найдем вероятность каждого из этих событий.

Вероятность вынуть легкий шар $P(A)$ равна отношению числа легких шаров к общему числу шаров:

$P(A) = \frac{\text{Количество легких шаров}}{\text{Общее количество шаров}} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

Вероятность вынуть не красный шар $P(B)$ равна отношению числа не красных шаров к общему числу шаров:

$P(B) = \frac{\text{Количество не красных шаров}}{\text{Общее количество шаров}} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$

Поскольку события A и B независимы, вероятность того, что шар будет одновременно легким и не красным, вычисляется как произведение их вероятностей:

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{8}{20} \times \frac{15}{20} = \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

Переводя в десятичную дробь, получаем 0,3.

Можно прийти к тому же результату, вычислив ожидаемое количество не красных и легких шаров. Доля легких шаров составляет $\frac{8}{20}$. Значит, среди 15 не красных шаров ожидаемое количество легких будет: $15 \times \frac{8}{20} = 6$. Вероятность вынуть один из этих 6 шаров из 20 равна $\frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0,3$.

Ответ: 0,3

4. В первой коробке находятся 2 белых, 3 чёрных и 4 красных шара, а во второй коробке — 1 белый, 2 чёрных и 3 красных шара. Какова вероятность того, что вынутые по одному из каждой коробки шары окажутся разных цветов?

Для решения задачи сначала определим общее количество шаров в каждой коробке.
В первой коробке находится $N_1 = 2 + 3 + 4 = 9$ шаров.
Во второй коробке находится $N_2 = 1 + 2 + 3 = 6$ шаров.

Найдём вероятность того, что вынутые по одному шару из каждой коробки окажутся разных цветов. Для этого удобнее вычислить вероятность противоположного события — что шары окажутся одинакового цвета, — а затем вычесть эту вероятность из 1.

Пусть событие $A$ — вынутые шары разных цветов, а событие $\bar{A}$ — вынутые шары одинакового цвета. Тогда искомая вероятность $P(A) = 1 - P(\bar{A})$.
Событие $\bar{A}$ происходит, если оба шара белые, или оба чёрные, или оба красные. Так как выбор шара из каждой коробки является независимым событием, мы можем найти вероятности этих исходов и сложить их.

Вероятность того, что оба шара белые. Вероятность вынуть белый шар из первой коробки равна $\frac{2}{9}$, а из второй — $\frac{1}{6}$. Вероятность этого события:
$P(\text{оба белые}) = \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{54}$.

Вероятность того, что оба шара чёрные. Вероятность вынуть чёрный шар из первой коробки равна $\frac{3}{9}$, а из второй — $\frac{2}{6}$. Вероятность этого события:
$P(\text{оба чёрные}) = \frac{3}{9} \cdot \frac{2}{6} = \frac{6}{54}$.

Вероятность того, что оба шара красные. Вероятность вынуть красный шар из первой коробки равна $\frac{4}{9}$, а из второй — $\frac{3}{6}$. Вероятность этого события:
$P(\text{оба красные}) = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{6} = \frac{12}{54}$.

Вероятность того, что шары будут одинакового цвета, равна сумме вероятностей этих трёх несовместных событий:
$P(\bar{A}) = P(\text{оба белые}) + P(\text{оба чёрные}) + P(\text{оба красные}) = \frac{2}{54} + \frac{6}{54} + \frac{12}{54} = \frac{2+6+12}{54} = \frac{20}{54}$.

Теперь можем найти искомую вероятность того, что шары окажутся разных цветов:
$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{20}{54} = \frac{54 - 20}{54} = \frac{34}{54}$.

Сократив дробь, получаем окончательный результат: $\frac{34}{54} = \frac{17}{27}$.
Ответ: $\frac{17}{27}$.