Номер 3, страница 219 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 6. Элементы теории вероятностей. Проверь себя! - номер 3, страница 219.

Условие.

3. В коробке лежат 20 одинаковых по форме шаров, причём 8 из них легче остальных. Известно, что произвольные 5 шаров из 20 окрашены в красный цвет. Какова вероятность того, что случайным образом вынутый один шар окажется не красным, но лёгким шаром?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи по теории вероятностей необходимо определить количество шаров с нужными нам свойствами и соотнести его с общим количеством шаров.

Для начала разберем исходные данные:

• Общее количество шаров в коробке: 20.
• Количество легких шаров: 8.
• Количество тяжелых (не легких) шаров: $20 - 8 = 12$.
• Количество красных шаров: 5.
• Количество не красных шаров: $20 - 5 = 15$.

Нам нужно найти вероятность того, что случайным образом вынутый шар окажется "не красным, но легким".

Ключевая фраза в условии — "произвольные 5 шаров из 20 окрашены в красный цвет". Это означает, что свойства веса и цвета являются независимыми. То есть, процесс окрашивания шаров был случайным и не зависел от их веса. Для независимых событий вероятность их одновременного выполнения равна произведению их отдельных вероятностей.

Определим два независимых события:

1. Событие A: случайным образом вынутый шар является легким.
2. Событие B: случайным образом вынутый шар является не красным.

Найдем вероятность каждого из этих событий.

Вероятность вынуть легкий шар $P(A)$ равна отношению числа легких шаров к общему числу шаров:

$P(A) = \frac{\text{Количество легких шаров}}{\text{Общее количество шаров}} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

Вероятность вынуть не красный шар $P(B)$ равна отношению числа не красных шаров к общему числу шаров:

$P(B) = \frac{\text{Количество не красных шаров}}{\text{Общее количество шаров}} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$

Поскольку события A и B независимы, вероятность того, что шар будет одновременно легким и не красным, вычисляется как произведение их вероятностей:

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{8}{20} \times \frac{15}{20} = \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

Переводя в десятичную дробь, получаем 0,3.

Можно прийти к тому же результату, вычислив ожидаемое количество не красных и легких шаров. Доля легких шаров составляет $\frac{8}{20}$. Значит, среди 15 не красных шаров ожидаемое количество легких будет: $15 \times \frac{8}{20} = 6$. Вероятность вынуть один из этих 6 шаров из 20 равна $\frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0,3$.

Ответ: 0,3