Номер 4, страница 219 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 6. Элементы теории вероятностей. Проверь себя! - номер 4, страница 219.

Условие.

4. В первой коробке находятся 2 белых, 3 чёрных и 4 красных шара, а во второй коробке — 1 белый, 2 чёрных и 3 красных шара. Какова вероятность того, что вынутые по одному из каждой коробки шары окажутся разных цветов?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи сначала определим общее количество шаров в каждой коробке.
В первой коробке находится $N_1 = 2 + 3 + 4 = 9$ шаров.
Во второй коробке находится $N_2 = 1 + 2 + 3 = 6$ шаров.

Найдём вероятность того, что вынутые по одному шару из каждой коробки окажутся разных цветов. Для этого удобнее вычислить вероятность противоположного события — что шары окажутся одинакового цвета, — а затем вычесть эту вероятность из 1.

Пусть событие $A$ — вынутые шары разных цветов, а событие $\bar{A}$ — вынутые шары одинакового цвета. Тогда искомая вероятность $P(A) = 1 - P(\bar{A})$.
Событие $\bar{A}$ происходит, если оба шара белые, или оба чёрные, или оба красные. Так как выбор шара из каждой коробки является независимым событием, мы можем найти вероятности этих исходов и сложить их.

Вероятность того, что оба шара белые. Вероятность вынуть белый шар из первой коробки равна $\frac{2}{9}$, а из второй — $\frac{1}{6}$. Вероятность этого события:
$P(\text{оба белые}) = \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{54}$.

Вероятность того, что оба шара чёрные. Вероятность вынуть чёрный шар из первой коробки равна $\frac{3}{9}$, а из второй — $\frac{2}{6}$. Вероятность этого события:
$P(\text{оба чёрные}) = \frac{3}{9} \cdot \frac{2}{6} = \frac{6}{54}$.

Вероятность того, что оба шара красные. Вероятность вынуть красный шар из первой коробки равна $\frac{4}{9}$, а из второй — $\frac{3}{6}$. Вероятность этого события:
$P(\text{оба красные}) = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{6} = \frac{12}{54}$.

Вероятность того, что шары будут одинакового цвета, равна сумме вероятностей этих трёх несовместных событий:
$P(\bar{A}) = P(\text{оба белые}) + P(\text{оба чёрные}) + P(\text{оба красные}) = \frac{2}{54} + \frac{6}{54} + \frac{12}{54} = \frac{2+6+12}{54} = \frac{20}{54}$.

Теперь можем найти искомую вероятность того, что шары окажутся разных цветов:
$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{20}{54} = \frac{54 - 20}{54} = \frac{34}{54}$.

Сократив дробь, получаем окончательный результат: $\frac{34}{54} = \frac{17}{27}$.
Ответ: $\frac{17}{27}$.