Номер 586, страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 1. Определение комплексных чисел. Сложение и умножение комплексных чисел - номер 586, страница 227.

Условие.

586. Найти произведение комплексных чисел:

1) $(2 + 3i)(4 + 5i)$;

2) $(1 - 2i)(5 - i)$;

3) $(-3 - 2i)(2 + 3i)$;

4) $(3 - i)(3 + i)$;

5) $(-\frac{1}{2} + 1,5i)(2 - 4i)$;

6) $(\sqrt{2} + 3i)(\sqrt{2} + 3i)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения произведения двух комплексных чисел $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$ используется правило умножения двучленов с последующей заменой $i^2$ на $-1$:

$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$

Применим это правило к каждому из заданий.

1) Найдём произведение $(2 + 3i)(4 + 5i)$.
$(2 + 3i)(4 + 5i) = 2 \cdot 4 + 2 \cdot 5i + 3i \cdot 4 + 3i \cdot 5i = 8 + 10i + 12i + 15i^2$
Сгруппируем действительные и мнимые части, учитывая, что $i^2 = -1$:
$8 + (10 + 12)i + 15(-1) = 8 + 22i - 15 = (8 - 15) + 22i = -7 + 22i$.
Ответ: $-7 + 22i$.

2) Найдём произведение $(1 - 2i)(5 - i)$.
$(1 - 2i)(5 - i) = 1 \cdot 5 + 1 \cdot (-i) - 2i \cdot 5 - 2i \cdot (-i) = 5 - i - 10i + 2i^2$
Сгруппируем члены и подставим $i^2 = -1$:
$5 - (1 + 10)i + 2(-1) = 5 - 11i - 2 = (5 - 2) - 11i = 3 - 11i$.
Ответ: $3 - 11i$.

3) Найдём произведение $(-3 - 2i)(2 + 3i)$.
$(-3 - 2i)(2 + 3i) = -3 \cdot 2 - 3 \cdot 3i - 2i \cdot 2 - 2i \cdot 3i = -6 - 9i - 4i - 6i^2$
Сгруппируем действительные и мнимые части:
$-6 - (9 + 4)i - 6(-1) = -6 - 13i + 6 = (-6 + 6) - 13i = 0 - 13i = -13i$.
Ответ: $-13i$.

4) Найдём произведение $(3 - i)(3 + i)$.
Это произведение двух комплексно-сопряженных чисел, которое можно вычислить по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(3 - i)(3 + i) = 3^2 - i^2 = 9 - (-1) = 9 + 1 = 10$.
Результатом является действительное число.
Ответ: $10$.

5) Найдём произведение $(-\frac{1}{2} + 1,5i)(2 - 4i)$.
Для удобства представим $1,5$ как обыкновенную дробь $\frac{3}{2}$.
$(-\frac{1}{2} + \frac{3}{2}i)(2 - 4i) = -\frac{1}{2} \cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot (-4i) + \frac{3}{2}i \cdot 2 + \frac{3}{2}i \cdot (-4i) = -1 + 2i + 3i - \frac{12}{2}i^2 = -1 + 5i - 6i^2$
Заменяем $i^2$ на $-1$:
$-1 + 5i - 6(-1) = -1 + 5i + 6 = 5 + 5i$.
Ответ: $5 + 5i$.

6) Найдём произведение $(\sqrt{2} + 3i)(\sqrt{2} + 3i)$.
Это выражение является квадратом комплексного числа $(\sqrt{2} + 3i)^2$. Воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(\sqrt{2} + 3i)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot (3i) + (3i)^2 = 2 + 6\sqrt{2}i + 9i^2$
Заменяем $i^2$ на $-1$ и приводим подобные слагаемые:
$2 + 6\sqrt{2}i + 9(-1) = 2 + 6\sqrt{2}i - 9 = (2 - 9) + 6\sqrt{2}i = -7 + 6\sqrt{2}i$.
Ответ: $-7 + 6\sqrt{2}i$.