Номер 591, страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 1. Определение комплексных чисел. Сложение и умножение комплексных чисел - номер 591, страница 227.

Условие.

591. Найти действительные значения x, при которых число z будет действительным:

1) $z = 6x^2i + 2xi - 5x^2$;

2) $z = (x - 3xi) + (5 + x^2i).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы комплексное число $z = a + bi$ было действительным, его мнимая часть $b$ (коэффициент при мнимой единице $i$) должна быть равна нулю. Для решения задачи в каждом случае необходимо выделить мнимую часть комплексного числа и приравнять её к нулю.

1) $z = 6x^2i + 2xi - 5x^2$

Сначала приведем число $z$ к стандартному алгебраическому виду $a + bi$, сгруппировав действительную и мнимую части.

Действительная часть (слагаемые без $i$): $\text{Re}(z) = -5x^2$.

Мнимая часть (коэффициенты при $i$): $\text{Im}(z) = 6x^2 + 2x$.

Таким образом, число $z$ можно записать как $z = -5x^2 + (6x^2 + 2x)i$.

Число $z$ будет действительным, если его мнимая часть равна нулю:

$6x^2 + 2x = 0$

Для решения этого квадратного уравнения вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(3x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

$2x = 0 \implies x_1 = 0$

$3x + 1 = 0 \implies 3x = -1 \implies x_2 = -\frac{1}{3}$

Ответ: $x=0$ или $x=-\frac{1}{3}$.

2) $z = (x - 3xi) + (5 + x^2i)$

Сначала раскроем скобки: $z = x - 3xi + 5 + x^2i$.

Теперь сгруппируем действительные и мнимые члены, чтобы представить число в виде $a+bi$:

$z = (x + 5) + (-3x + x^2)i$

Действительная часть: $\text{Re}(z) = x + 5$.

Мнимая часть: $\text{Im}(z) = x^2 - 3x$.

Приравняем мнимую часть к нулю:

$x^2 - 3x = 0$

Решим это уравнение, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 3) = 0$

Получаем два решения:

$x_1 = 0$

$x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$

Ответ: $x=0$ или $x=3$.