Номер 592, страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 1. Определение комплексных чисел. Сложение и умножение комплексных чисел - номер 592, страница 227.

Условие.

592. При каких действительных значениях x и y комплексные числа $z_1 = x^2 - 7x + 9yi$ и $z_2 = y^2i + 20i - 12$ равны?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Запишем данные комплексные числа $z_1 = x^2 - 7x + 9yi$ и $z_2 = y^2i + 20i - 12$ в стандартной алгебраической форме $a+bi$, чтобы выделить их действительные и мнимые части.

Для числа $z_1 = x^2 - 7x + 9yi$ имеем:
Действительная часть: $Re(z_1) = x^2 - 7x$.
Мнимая часть: $Im(z_1) = 9y$.

Для числа $z_2 = y^2i + 20i - 12$, сгруппировав члены, получаем $z_2 = -12 + (y^2 + 20)i$. Таким образом:
Действительная часть: $Re(z_2) = -12$.
Мнимая часть: $Im(z_2) = y^2 + 20$.

Условие равенства $z_1 = z_2$ эквивалентно системе из двух уравнений, полученной приравниванием действительных и мнимых частей соответственно:
$\begin{cases} Re(z_1) = Re(z_2) \\ Im(z_1) = Im(z_2)\end{cases}\implies\begin{cases} x^2 - 7x = -12 \\ 9y = y^2 + 20\end{cases}$

Решим каждое уравнение системы отдельно, так как они не зависят друг от друга.

Первое уравнение для переменной $x$:
$x^2 - 7x + 12 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Этим условиям удовлетворяют числа 3 и 4.
Таким образом, возможные значения для $x$: $x_1 = 3$, $x_2 = 4$.

Второе уравнение для переменной $y$:
$y^2 - 9y + 20 = 0$
Это также квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 9, а их произведение равно 20. Этим условиям удовлетворяют числа 4 и 5.
Таким образом, возможные значения для $y$: $y_1 = 4$, $y_2 = 5$.

Равенство комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ выполняется, когда $x$ принимает одно из значений из множества $\{3, 4\}$, а $y$ — одно из значений из множества $\{4, 5\}$. Составляя все возможные пары, получаем четыре решения.

Ответ: $(3, 4)$; $(3, 5)$; $(4, 4)$; $(4, 5)$.