Номер 587, страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 1. Определение комплексных чисел. Сложение и умножение комплексных чисел - номер 587, страница 227.

Условие.

587. Выполнить действия:

1) $2(1+i)+3-7i$

2) $(2+i)(-3-2i)+1+11i;$

3) $2i(1+i)+4i\left(2-\frac{1}{2}i\right);$

4) $(-3+4i)2i+(-2-7i)(-3i);$

5) $(\sqrt{3}+2i)(\sqrt{3}-i)+1-4\sqrt{3}i;$

6) $\frac{1}{3}i(6-12i)+\frac{1}{4}i(4+8i).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Раскроем скобки и сгруппируем действительные и мнимые части. При выполнении действий с комплексными числами помним, что $i^2 = -1$.
$2(1 + i) + 3 - 7i = 2 \cdot 1 + 2 \cdot i + 3 - 7i = 2 + 2i + 3 - 7i$
Сгруппируем действительные части $(2 + 3)$ и мнимые части $(2i - 7i)$:
$(2 + 3) + (2 - 7)i = 5 - 5i$
Ответ: $5 - 5i$

2) Сначала выполним умножение двух комплексных чисел, используя правило умножения многочленов (FOIL), а затем сложим с оставшимися членами.
$(2 + i)(-3 - 2i) = 2(-3) + 2(-2i) + i(-3) + i(-2i) = -6 - 4i - 3i - 2i^2$
Так как $i^2 = -1$, то $-2i^2 = -2(-1) = 2$.
Получаем: $-6 - 4i - 3i + 2 = (-6 + 2) + (-4 - 3)i = -4 - 7i$
Теперь добавим оставшуюся часть выражения:
$(-4 - 7i) + 1 + 11i = (-4 + 1) + (-7 + 11)i = -3 + 4i$
Ответ: $-3 + 4i$

3) Раскроем скобки в каждом слагаемом, а затем сложим результаты.
Первое слагаемое: $2i(1 + i) = 2i \cdot 1 + 2i \cdot i = 2i + 2i^2 = 2i - 2 = -2 + 2i$
Второе слагаемое: $4i(2 - \frac{1}{2}i) = 4i \cdot 2 - 4i \cdot \frac{1}{2}i = 8i - 2i^2 = 8i - 2(-1) = 8i + 2 = 2 + 8i$
Сложим полученные выражения:
$(-2 + 2i) + (2 + 8i) = (-2 + 2) + (2i + 8i) = 0 + 10i = 10i$
Ответ: $10i$

4) Выполним умножение в каждом слагаемом по отдельности.
Первое слагаемое: $(-3 + 4i)2i = -3 \cdot 2i + 4i \cdot 2i = -6i + 8i^2 = -6i + 8(-1) = -8 - 6i$
Второе слагаемое: $(-2 - 7i)(-3i) = -2(-3i) - 7i(-3i) = 6i + 21i^2 = 6i + 21(-1) = -21 + 6i$
Сложим результаты:
$(-8 - 6i) + (-21 + 6i) = (-8 - 21) + (-6i + 6i) = -29 + 0i = -29$
Ответ: $-29$

5) Сначала перемножим комплексные числа в скобках.
$(\sqrt{3} + 2i)(\sqrt{3} - i) = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3}(-i) + 2i \cdot \sqrt{3} + 2i(-i) = 3 - \sqrt{3}i + 2\sqrt{3}i - 2i^2$
Заменим $i^2$ на $-1$: $3 - \sqrt{3}i + 2\sqrt{3}i - 2(-1) = 3 - \sqrt{3}i + 2\sqrt{3}i + 2$
Сгруппируем действительные и мнимые части: $(3 + 2) + (-\sqrt{3} + 2\sqrt{3})i = 5 + \sqrt{3}i$
Теперь добавим оставшуюся часть выражения:
$(5 + \sqrt{3}i) + 1 - 4\sqrt{3}i = (5 + 1) + (\sqrt{3} - 4\sqrt{3})i = 6 - 3\sqrt{3}i$
Ответ: $6 - 3\sqrt{3}i$

6) Раскроем скобки в каждом слагаемом, умножив на множитель перед ними.
Первое слагаемое: $\frac{1}{3}i(6 - 12i) = \frac{1}{3}i \cdot 6 - \frac{1}{3}i \cdot 12i = 2i - 4i^2 = 2i - 4(-1) = 4 + 2i$
Второе слагаемое: $\frac{1}{4}i(4 + 8i) = \frac{1}{4}i \cdot 4 + \frac{1}{4}i \cdot 8i = i + 2i^2 = i + 2(-1) = -2 + i$
Сложим полученные результаты:
$(4 + 2i) + (-2 + i) = (4 - 2) + (2i + i) = 2 + 3i$
Ответ: $2 + 3i$