Номер 593, страница 228 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 1. Определение комплексных чисел. Сложение и умножение комплексных чисел - номер 593, страница 228.

Условие.

593. Найти действительные значения x и y, если:

1) $(x + 2yi) + (3y - 2xi) = 2 + 4i;$

2) $(2x + 5yi) + (y + xi) = 2 + i;$

3) $y - \frac{10}{x} + 7i = \frac{8i}{x} + yi - 2;$

4) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{i}{x} = \frac{3}{x} - \frac{i}{y} + 3i.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для равенства двух комплексных чисел необходимо, чтобы их действительные и мнимые части были равны. Сначала сгруппируем действительные и мнимые части в левой части уравнения $(x + 2yi) + (3y - 2xi) = 2 + 4i$.
Действительная часть: $(x + 3y)$.
Мнимая часть: $(2y - 2x)i$.
Получаем уравнение: $(x + 3y) + (2y - 2x)i = 2 + 4i$.
Приравниваем действительные и мнимые части: $$ \begin{cases} x + 3y = 2 \\ 2y - 2x = 4 \end{cases} $$ Это система двух линейных уравнений. Упростим второе уравнение, разделив его на 2: $y - x = 2$, откуда $y = x + 2$.
Подставим выражение для $y$ в первое уравнение: $x + 3(x + 2) = 2$
$x + 3x + 6 = 2$
$4x = -4$
$x = -1$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$: $y = -1 + 2 = 1$.
Ответ: $x = -1, y = 1$.

2) Сгруппируем действительные и мнимые части в левой части уравнения $(2x + 5yi) + (y + xi) = 2 + i$.
Действительная часть: $(2x + y)$.
Мнимая часть: $(5y + x)i$.
Получаем уравнение: $(2x + y) + (5y + x)i = 2 + 1i$.
Приравниваем действительные и мнимые части: $$ \begin{cases} 2x + y = 2 \\ x + 5y = 1 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $y$: $y = 2 - 2x$.
Подставим это выражение во второе уравнение: $x + 5(2 - 2x) = 1$
$x + 10 - 10x = 1$
$-9x = -9$
$x = 1$
Теперь найдем $y$: $y = 2 - 2(1) = 0$.
Ответ: $x = 1, y = 0$.

3) Перегруппируем члены в уравнении $y - \frac{10}{x} + 7i = \frac{8i}{x} + yi - 2$, чтобы выделить действительные и мнимые части с каждой стороны.
$(y - \frac{10}{x}) + 7i = -2 + (\frac{8}{x} + y)i$.
Приравниваем действительные и мнимые части (при условии, что $x \neq 0$): $$ \begin{cases} y - \frac{10}{x} = -2 \\ 7 = \frac{8}{x} + y \end{cases} $$ Получили систему уравнений. Перепишем ее в более удобном виде: $$ \begin{cases} y - \frac{10}{x} = -2 \\ y + \frac{8}{x} = 7 \end{cases} $$ Вычтем первое уравнение из второго: $(y + \frac{8}{x}) - (y - \frac{10}{x}) = 7 - (-2)$
$\frac{8}{x} + \frac{10}{x} = 9$
$\frac{18}{x} = 9$
$9x = 18$
$x = 2$
Подставим $x = 2$ во второе уравнение системы, чтобы найти $y$: $y + \frac{8}{2} = 7$
$y + 4 = 7$
$y = 3$.
Ответ: $x = 2, y = 3$.

4) Сгруппируем действительные и мнимые части в уравнении $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{i}{x} = \frac{3}{x} - \frac{i}{y} + 3i$.
$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) + (\frac{1}{x})i = (\frac{3}{x}) + (3 - \frac{1}{y})i$.
Приравниваем действительные и мнимые части (при условии, что $x \neq 0, y \neq 0$): $$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{x} \\ \frac{1}{x} = 3 - \frac{1}{y} \end{cases} $$ Из второго уравнения следует, что $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3$.
Теперь мы имеем два выражения для суммы $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. Приравняем их правые части: $\frac{3}{x} = 3$
Отсюда $3x = 3$, значит $x = 1$.
Подставим $x=1$ в уравнение $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3$: $\frac{1}{1} + \frac{1}{y} = 3$
$1 + \frac{1}{y} = 3$
$\frac{1}{y} = 2$
$y = \frac{1}{2}$.
Ответ: $x = 1, y = \frac{1}{2}$.