Номер 588, страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 1. Определение комплексных чисел. Сложение и умножение комплексных чисел - номер 588, страница 227.

Условие.

588. Какое число можно прибавить к числу $7,5 - 2\sqrt{5}i$, чтобы оно стало:

1) действительным;

2) чисто мнимым?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дано комплексное число $z = 7,5 - 2\sqrt{5}i$. Обозначим число, которое нужно к нему прибавить, как $w = a + bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа.

Их сумма $z+w$ будет равна:

$z + w = (7,5 - 2\sqrt{5}i) + (a + bi) = (7,5 + a) + (b - 2\sqrt{5})i$.

Действительная часть полученного числа — это $Re(z+w) = 7,5 + a$, а мнимая часть — это $Im(z+w) = b - 2\sqrt{5}$.

1) действительным;

Чтобы число стало действительным, его мнимая часть должна равняться нулю. Исходя из этого, составим уравнение:

$Im(z+w) = b - 2\sqrt{5} = 0$

Решая уравнение, получаем:

$b = 2\sqrt{5}$

Действительная часть $a$ искомого числа $w$ может быть любым действительным числом. Таким образом, любое число вида $a + 2\sqrt{5}i$ удовлетворяет условию. В качестве ответа выберем простейший случай, когда $a=0$.

Проверка: $(7,5 - 2\sqrt{5}i) + (2\sqrt{5}i) = 7,5$. Результат является действительным числом.

Ответ: $2\sqrt{5}i$.

2) чисто мнимым?

Чтобы число стало чисто мнимым, его действительная часть должна равняться нулю. Составим соответствующее уравнение:

$Re(z+w) = 7,5 + a = 0$

Решая уравнение, получаем:

$a = -7,5$

Мнимая часть $b$ искомого числа $w$ может быть любым действительным числом. Таким образом, любое число вида $-7,5 + bi$ удовлетворяет условию. В качестве ответа выберем простейший случай, когда $b=0$.

Проверка: $(7,5 - 2\sqrt{5}i) + (-7,5) = -2\sqrt{5}i$. Результат является чисто мнимым числом.

Ответ: $-7,5$.