Страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

584. Указать, какие из данных комплексных чисел равны:

$-\frac{1}{2} + \sqrt{9}i$; $\sqrt[3]{8} + i$; $-0,5 + 3i$; $2 + i$; $-5 - \sqrt{36}i$; $\frac{10}{2} - \sqrt{36}i$.

Два комплексных числа $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$ считаются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные части ($a_1 = a_2$) и их мнимые части ($b_1 = b_2$). Для того чтобы определить, какие из данных чисел равны, необходимо привести каждое из них к стандартной алгебраической форме $a + bi$.

Проведем упрощение для каждого из данных комплексных чисел:

Для числа $-\frac{1}{2} + \sqrt{9}i$:
Действительная часть: $-\frac{1}{2} = -0.5$.
Мнимая часть: $\sqrt{9} = 3$.
Следовательно, число в стандартной форме: $-0.5 + 3i$.

Для числа $\sqrt[3]{8} + i$:
Действительная часть: $\sqrt[3]{8} = 2$.
Мнимая часть: $1$.
Следовательно, число в стандартной форме: $2 + i$.

Для числа $-0.5 + 3i$:
Это число уже представлено в стандартной форме. Его действительная часть равна $-0.5$, а мнимая — $3$.

Для числа $2 + i$:
Это число также уже представлено в стандартной форме. Его действительная часть равна $2$, а мнимая — $1$.

Для числа $-5 - \sqrt{36}i$:
Действительная часть: $-5$.
Мнимая часть: $-\sqrt{36} = -6$.
Следовательно, число в стандартной форме: $-5 - 6i$.

Для числа $\frac{10}{2} - \sqrt{36}i$:
Действительная часть: $\frac{10}{2} = 5$.
Мнимая часть: $-\sqrt{36} = -6$.
Следовательно, число в стандартной форме: $5 - 6i$.

Теперь сравним полученные числа в стандартной форме:

1. $-0.5 + 3i$
2. $2 + i$
3. $-0.5 + 3i$
4. $2 + i$
5. $-5 - 6i$
6. $5 - 6i$

Сравнивая действительные и мнимые части, находим следующие пары равных чисел:

Число $-\frac{1}{2} + \sqrt{9}i$ (которое равно $-0.5 + 3i$) равно числу $-0.5 + 3i$.

Число $\sqrt[3]{8} + i$ (которое равно $2 + i$) равно числу $2 + i$.

Ответ: Равными являются следующие пары чисел:
1) $-\frac{1}{2} + \sqrt{9}i$ и $-0.5 + 3i$.
2) $\sqrt[3]{8} + i$ и $2 + i$.

585. Найти сумму комплексных чисел:

1) $(5 + 4i) + (-2 + 3i)$;

2) $(1 + 5i) + (6 - 7i)$;

3) $(0,5 - 3,2i) + (1,5 - 0,8i)$;

4) $(-1 - 2i) + 3i$;

5) $(3 + \sqrt{5}i) + (3 - \sqrt{5}i)$;

6) $(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}i) + (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2}i)$

Сложение комплексных чисел выполняется путем сложения их действительных и мнимых частей по отдельности. Для двух комплексных чисел $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$ их сумма находится по формуле:

$z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i$

Применим это правило к каждому из заданий.

1) $(5 + 4i) + (-2 + 3i)$

Чтобы найти сумму, сложим действительные части и мнимые части:

Действительная часть: $5 + (-2) = 3$.

Мнимая часть: $4 + 3 = 7$.

Результат: $(5 + (-2)) + (4 + 3)i = 3 + 7i$.

Ответ: $3 + 7i$

2) $(1 + 5i) + (6 - 7i)$

Складываем действительные части: $1 + 6 = 7$.

Складываем мнимые части: $5 + (-7) = -2$.

Результат: $(1 + 6) + (5 - 7)i = 7 - 2i$.

Ответ: $7 - 2i$

3) $(0,5 - 3,2i) + (1,5 - 0,8i)$

Складываем действительные части: $0,5 + 1,5 = 2$.

Складываем мнимые части: $-3,2 + (-0,8) = -4$.

Результат: $(0,5 + 1,5) + (-3,2 - 0,8)i = 2 - 4i$.

Ответ: $2 - 4i$

4) $(-1 - 2i) + 3i$

Второе число $3i$ можно представить как $0 + 3i$.

Складываем действительные части: $-1 + 0 = -1$.

Складываем мнимые части: $-2 + 3 = 1$.

Результат: $(-1 + 0) + (-2 + 3)i = -1 + 1i = -1 + i$.

Ответ: $-1 + i$

5) $(3 + \sqrt{5}i) + (3 - \sqrt{5}i)$

Складываем действительные части: $3 + 3 = 6$.

Складываем мнимые части: $\sqrt{5} + (-\sqrt{5}) = 0$.

Результат: $(3 + 3) + (\sqrt{5} - \sqrt{5})i = 6 + 0i = 6$.

Ответ: $6$

6) $(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}i) + (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2}i)$

Складываем действительные части: $\frac{1}{3} + (-\frac{1}{3}) = 0$.

Складываем мнимые части: $-\frac{1}{2} + (-\frac{1}{2}) = -1$.

Результат: $(\frac{1}{3} - \frac{1}{3}) + (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2})i = 0 - 1i = -i$.

Ответ: $-i$

586. Найти произведение комплексных чисел:

1) $(2 + 3i)(4 + 5i)$;

2) $(1 - 2i)(5 - i)$;

3) $(-3 - 2i)(2 + 3i)$;

4) $(3 - i)(3 + i)$;

5) $(-\frac{1}{2} + 1,5i)(2 - 4i)$;

6) $(\sqrt{2} + 3i)(\sqrt{2} + 3i)$.

Для нахождения произведения двух комплексных чисел $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$ используется правило умножения двучленов с последующей заменой $i^2$ на $-1$:

$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$

Применим это правило к каждому из заданий.

1) Найдём произведение $(2 + 3i)(4 + 5i)$.
$(2 + 3i)(4 + 5i) = 2 \cdot 4 + 2 \cdot 5i + 3i \cdot 4 + 3i \cdot 5i = 8 + 10i + 12i + 15i^2$
Сгруппируем действительные и мнимые части, учитывая, что $i^2 = -1$:
$8 + (10 + 12)i + 15(-1) = 8 + 22i - 15 = (8 - 15) + 22i = -7 + 22i$.
Ответ: $-7 + 22i$.

2) Найдём произведение $(1 - 2i)(5 - i)$.
$(1 - 2i)(5 - i) = 1 \cdot 5 + 1 \cdot (-i) - 2i \cdot 5 - 2i \cdot (-i) = 5 - i - 10i + 2i^2$
Сгруппируем члены и подставим $i^2 = -1$:
$5 - (1 + 10)i + 2(-1) = 5 - 11i - 2 = (5 - 2) - 11i = 3 - 11i$.
Ответ: $3 - 11i$.

3) Найдём произведение $(-3 - 2i)(2 + 3i)$.
$(-3 - 2i)(2 + 3i) = -3 \cdot 2 - 3 \cdot 3i - 2i \cdot 2 - 2i \cdot 3i = -6 - 9i - 4i - 6i^2$
Сгруппируем действительные и мнимые части:
$-6 - (9 + 4)i - 6(-1) = -6 - 13i + 6 = (-6 + 6) - 13i = 0 - 13i = -13i$.
Ответ: $-13i$.

4) Найдём произведение $(3 - i)(3 + i)$.
Это произведение двух комплексно-сопряженных чисел, которое можно вычислить по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(3 - i)(3 + i) = 3^2 - i^2 = 9 - (-1) = 9 + 1 = 10$.
Результатом является действительное число.
Ответ: $10$.

5) Найдём произведение $(-\frac{1}{2} + 1,5i)(2 - 4i)$.
Для удобства представим $1,5$ как обыкновенную дробь $\frac{3}{2}$.
$(-\frac{1}{2} + \frac{3}{2}i)(2 - 4i) = -\frac{1}{2} \cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot (-4i) + \frac{3}{2}i \cdot 2 + \frac{3}{2}i \cdot (-4i) = -1 + 2i + 3i - \frac{12}{2}i^2 = -1 + 5i - 6i^2$
Заменяем $i^2$ на $-1$:
$-1 + 5i - 6(-1) = -1 + 5i + 6 = 5 + 5i$.
Ответ: $5 + 5i$.

6) Найдём произведение $(\sqrt{2} + 3i)(\sqrt{2} + 3i)$.
Это выражение является квадратом комплексного числа $(\sqrt{2} + 3i)^2$. Воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(\sqrt{2} + 3i)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot (3i) + (3i)^2 = 2 + 6\sqrt{2}i + 9i^2$
Заменяем $i^2$ на $-1$ и приводим подобные слагаемые:
$2 + 6\sqrt{2}i + 9(-1) = 2 + 6\sqrt{2}i - 9 = (2 - 9) + 6\sqrt{2}i = -7 + 6\sqrt{2}i$.
Ответ: $-7 + 6\sqrt{2}i$.

587. Выполнить действия:

1) $2(1+i)+3-7i$

2) $(2+i)(-3-2i)+1+11i;$

3) $2i(1+i)+4i\left(2-\frac{1}{2}i\right);$

4) $(-3+4i)2i+(-2-7i)(-3i);$

5) $(\sqrt{3}+2i)(\sqrt{3}-i)+1-4\sqrt{3}i;$

6) $\frac{1}{3}i(6-12i)+\frac{1}{4}i(4+8i).$

1) Раскроем скобки и сгруппируем действительные и мнимые части. При выполнении действий с комплексными числами помним, что $i^2 = -1$.
$2(1 + i) + 3 - 7i = 2 \cdot 1 + 2 \cdot i + 3 - 7i = 2 + 2i + 3 - 7i$
Сгруппируем действительные части $(2 + 3)$ и мнимые части $(2i - 7i)$:
$(2 + 3) + (2 - 7)i = 5 - 5i$
Ответ: $5 - 5i$

2) Сначала выполним умножение двух комплексных чисел, используя правило умножения многочленов (FOIL), а затем сложим с оставшимися членами.
$(2 + i)(-3 - 2i) = 2(-3) + 2(-2i) + i(-3) + i(-2i) = -6 - 4i - 3i - 2i^2$
Так как $i^2 = -1$, то $-2i^2 = -2(-1) = 2$.
Получаем: $-6 - 4i - 3i + 2 = (-6 + 2) + (-4 - 3)i = -4 - 7i$
Теперь добавим оставшуюся часть выражения:
$(-4 - 7i) + 1 + 11i = (-4 + 1) + (-7 + 11)i = -3 + 4i$
Ответ: $-3 + 4i$

3) Раскроем скобки в каждом слагаемом, а затем сложим результаты.
Первое слагаемое: $2i(1 + i) = 2i \cdot 1 + 2i \cdot i = 2i + 2i^2 = 2i - 2 = -2 + 2i$
Второе слагаемое: $4i(2 - \frac{1}{2}i) = 4i \cdot 2 - 4i \cdot \frac{1}{2}i = 8i - 2i^2 = 8i - 2(-1) = 8i + 2 = 2 + 8i$
Сложим полученные выражения:
$(-2 + 2i) + (2 + 8i) = (-2 + 2) + (2i + 8i) = 0 + 10i = 10i$
Ответ: $10i$

4) Выполним умножение в каждом слагаемом по отдельности.
Первое слагаемое: $(-3 + 4i)2i = -3 \cdot 2i + 4i \cdot 2i = -6i + 8i^2 = -6i + 8(-1) = -8 - 6i$
Второе слагаемое: $(-2 - 7i)(-3i) = -2(-3i) - 7i(-3i) = 6i + 21i^2 = 6i + 21(-1) = -21 + 6i$
Сложим результаты:
$(-8 - 6i) + (-21 + 6i) = (-8 - 21) + (-6i + 6i) = -29 + 0i = -29$
Ответ: $-29$

5) Сначала перемножим комплексные числа в скобках.
$(\sqrt{3} + 2i)(\sqrt{3} - i) = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3}(-i) + 2i \cdot \sqrt{3} + 2i(-i) = 3 - \sqrt{3}i + 2\sqrt{3}i - 2i^2$
Заменим $i^2$ на $-1$: $3 - \sqrt{3}i + 2\sqrt{3}i - 2(-1) = 3 - \sqrt{3}i + 2\sqrt{3}i + 2$
Сгруппируем действительные и мнимые части: $(3 + 2) + (-\sqrt{3} + 2\sqrt{3})i = 5 + \sqrt{3}i$
Теперь добавим оставшуюся часть выражения:
$(5 + \sqrt{3}i) + 1 - 4\sqrt{3}i = (5 + 1) + (\sqrt{3} - 4\sqrt{3})i = 6 - 3\sqrt{3}i$
Ответ: $6 - 3\sqrt{3}i$

6) Раскроем скобки в каждом слагаемом, умножив на множитель перед ними.
Первое слагаемое: $\frac{1}{3}i(6 - 12i) = \frac{1}{3}i \cdot 6 - \frac{1}{3}i \cdot 12i = 2i - 4i^2 = 2i - 4(-1) = 4 + 2i$
Второе слагаемое: $\frac{1}{4}i(4 + 8i) = \frac{1}{4}i \cdot 4 + \frac{1}{4}i \cdot 8i = i + 2i^2 = i + 2(-1) = -2 + i$
Сложим полученные результаты:
$(4 + 2i) + (-2 + i) = (4 - 2) + (2i + i) = 2 + 3i$
Ответ: $2 + 3i$

588. Какое число можно прибавить к числу $7,5 - 2\sqrt{5}i$, чтобы оно стало:

1) действительным;

2) чисто мнимым?

Пусть дано комплексное число $z = 7,5 - 2\sqrt{5}i$. Обозначим число, которое нужно к нему прибавить, как $w = a + bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа.

Их сумма $z+w$ будет равна:

$z + w = (7,5 - 2\sqrt{5}i) + (a + bi) = (7,5 + a) + (b - 2\sqrt{5})i$.

Действительная часть полученного числа — это $Re(z+w) = 7,5 + a$, а мнимая часть — это $Im(z+w) = b - 2\sqrt{5}$.

1) действительным;

Чтобы число стало действительным, его мнимая часть должна равняться нулю. Исходя из этого, составим уравнение:

$Im(z+w) = b - 2\sqrt{5} = 0$

Решая уравнение, получаем:

$b = 2\sqrt{5}$

Действительная часть $a$ искомого числа $w$ может быть любым действительным числом. Таким образом, любое число вида $a + 2\sqrt{5}i$ удовлетворяет условию. В качестве ответа выберем простейший случай, когда $a=0$.

Проверка: $(7,5 - 2\sqrt{5}i) + (2\sqrt{5}i) = 7,5$. Результат является действительным числом.

Ответ: $2\sqrt{5}i$.

2) чисто мнимым?

Чтобы число стало чисто мнимым, его действительная часть должна равняться нулю. Составим соответствующее уравнение:

$Re(z+w) = 7,5 + a = 0$

Решая уравнение, получаем:

$a = -7,5$

Мнимая часть $b$ искомого числа $w$ может быть любым действительным числом. Таким образом, любое число вида $-7,5 + bi$ удовлетворяет условию. В качестве ответа выберем простейший случай, когда $b=0$.

Проверка: $(7,5 - 2\sqrt{5}i) + (-7,5) = -2\sqrt{5}i$. Результат является чисто мнимым числом.

Ответ: $-7,5$.

589. Найти действительные числа x и y, если:

1) $9x + 2yi = 12 + i;$

2) $x - 2yi = -1 - \sqrt{3}i;$

3) $2x - (3 + y)i = -4 + 5,3i;$

4) $-3x + \left(y - \frac{3}{4}\right)i = 1,5 + \frac{1}{4}i;$

5) $(x + y) + (x - y)i = 3 + i;$

6) $(5x - y) + (x + y)i = 7 - i.$

Для решения всех представленных уравнений используется свойство равенства двух комплексных чисел. Два комплексных числа $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$ равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части ($Re$) и мнимые части ($Im$):

$a_1 + b_1i = a_2 + b_2i \iff \begin{cases} a_1 = a_2 \\ b_1 = b_2 \end{cases}$

Применим этот принцип к каждому уравнению, чтобы найти действительные числа $x$ и $y$.

1) Дано уравнение $9x + 2yi = 12 + i$.
Приравниваем действительные части: $Re(9x + 2yi) = Re(12 + i)$.
$9x = 12$
Приравниваем мнимые части: $Im(9x + 2yi) = Im(12 + i)$.
$2y = 1$
Решаем полученную систему уравнений:
Из первого уравнения находим $x$: $x = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$.
Из второго уравнения находим $y$: $y = \frac{1}{2}$.
Ответ: $x = \frac{4}{3}, y = \frac{1}{2}$.

2) Дано уравнение $x - 2yi = -1 - \sqrt{3}i$.
Приравниваем действительные части:
$x = -1$
Приравниваем мнимые части:
$-2y = -\sqrt{3}$
Решаем второе уравнение относительно $y$:
$y = \frac{-\sqrt{3}}{-2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $x = -1, y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3) Дано уравнение $2x - (3 + y)i = -4 + 5,3i$.
Приравниваем действительные части:
$2x = -4$
Приравниваем мнимые части:
$-(3 + y) = 5,3$
Из первого уравнения находим $x$:
$x = \frac{-4}{2} = -2$.
Из второго уравнения находим $y$:
$-3 - y = 5,3 \implies -y = 5,3 + 3 \implies -y = 8,3 \implies y = -8,3$.
Ответ: $x = -2, y = -8,3$.

4) Дано уравнение $-3x + \left(y - \frac{3}{4}\right)i = 1,5 + \frac{1}{4}i$.
Приравниваем действительные части:
$-3x = 1,5$
Приравниваем мнимые части:
$y - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
Из первого уравнения находим $x$:
$x = \frac{1,5}{-3} = -0,5$.
Из второго уравнения находим $y$:
$y = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
Ответ: $x = -0,5, y = 1$.

5) Дано уравнение $(x + y) + (x - y)i = 3 + i$.
Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему линейных уравнений:
$\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases}$
Сложим два уравнения: $(x + y) + (x - y) = 3 + 1$, что дает $2x = 4$, откуда $x = 2$.
Подставим значение $x=2$ в первое уравнение: $2 + y = 3$, откуда $y = 1$.
Ответ: $x = 2, y = 1$.

6) Дано уравнение $(5x - y) + (x + y)i = 7 - i$.
Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему линейных уравнений:
$\begin{cases} 5x - y = 7 \\ x + y = -1 \end{cases}$
Сложим два уравнения: $(5x - y) + (x + y) = 7 + (-1)$, что дает $6x = 6$, откуда $x = 1$.
Подставим значение $x=1$ во второе уравнение: $1 + y = -1$, откуда $y = -2$.
Ответ: $x = 1, y = -2$.

590. Упростить выражение (a, b — действительные числа):

1) $(a + 3bi) + (a - 5bi);$

2) $(3a + 2bi) + (-7a - 2bi);$

3) $(a + 3bi)(a - 3bi);$

4) $(2a + bi)(2a - bi);$

5) $(2b + 3ai)(3a + 2bi);$

6) $(3a + 4bi)(4b + 3ai).$

1) Для сложения комплексных чисел $(a + 3bi)$ и $(a - 5bi)$ необходимо сложить их действительные и мнимые части по отдельности. Действительные части складываются с действительными, мнимые с мнимыми.

Сложение действительных частей: $a + a = 2a$.

Сложение мнимых частей: $3bi - 5bi = (3b - 5b)i = -2bi$.

Результат сложения: $2a - 2bi$.

Ответ: $2a - 2bi$

2) Складываем комплексные числа $(3a + 2bi)$ и $(-7a - 2bi)$.

Сложение действительных частей: $3a + (-7a) = 3a - 7a = -4a$.

Сложение мнимых частей: $2bi + (-2bi) = 2bi - 2bi = 0$.

Результат сложения: $-4a + 0 = -4a$.

Ответ: $-4a$

3) Умножаем два комплексно-сопряженных числа $(a + 3bi)$ и $(a - 3bi)$. Можно использовать формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x=a$ и $y=3bi$.

$(a + 3bi)(a - 3bi) = a^2 - (3bi)^2$.

Зная, что мнимая единица $i$ в квадрате равна $-1$ ($i^2 = -1$), вычислим $(3bi)^2 = 3^2 \cdot b^2 \cdot i^2 = 9b^2(-1) = -9b^2$.

Подставляем полученное значение в выражение: $a^2 - (-9b^2) = a^2 + 9b^2$.

Ответ: $a^2 + 9b^2$

4) Умножаем два комплексно-сопряженных числа $(2a + bi)$ и $(2a - bi)$, применяя формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x=2a$ и $y=bi$.

$(2a + bi)(2a - bi) = (2a)^2 - (bi)^2$.

Возводим в квадрат: $(2a)^2 = 4a^2$ и $(bi)^2 = b^2i^2 = -b^2$.

Подставляем значения: $4a^2 - (-b^2) = 4a^2 + b^2$.

Ответ: $4a^2 + b^2$

5) Умножаем два комплексных числа $(2b + 3ai)(3a + 2bi)$, раскрывая скобки:

$(2b + 3ai)(3a + 2bi) = (2b)(3a) + (2b)(2bi) + (3ai)(3a) + (3ai)(2bi)$

$= 6ab + 4b^2i + 9a^2i + 6abi^2$.

Заменяем $i^2$ на $-1$: $6abi^2 = 6ab(-1) = -6ab$.

Выражение становится: $6ab + 4b^2i + 9a^2i - 6ab$.

Группируем действительные и мнимые части:

Действительная часть: $6ab - 6ab = 0$.

Мнимая часть: $4b^2i + 9a^2i = (9a^2 + 4b^2)i$.

Итоговый результат: $0 + (9a^2 + 4b^2)i = (9a^2 + 4b^2)i$.

Ответ: $(9a^2 + 4b^2)i$

6) Умножаем два комплексных числа $(3a + 4bi)(4b + 3ai)$, раскрывая скобки:

$(3a + 4bi)(4b + 3ai) = (3a)(4b) + (3a)(3ai) + (4bi)(4b) + (4bi)(3ai)$

$= 12ab + 9a^2i + 16b^2i + 12abi^2$.

Заменяем $i^2$ на $-1$: $12abi^2 = 12ab(-1) = -12ab$.

Выражение становится: $12ab + 9a^2i + 16b^2i - 12ab$.

Группируем действительные и мнимые части:

Действительная часть: $12ab - 12ab = 0$.

Мнимая часть: $9a^2i + 16b^2i = (9a^2 + 16b^2)i$.

Итоговый результат: $0 + (9a^2 + 16b^2)i = (9a^2 + 16b^2)i$.

Ответ: $(9a^2 + 16b^2)i$

591. Найти действительные значения x, при которых число z будет действительным:

1) $z = 6x^2i + 2xi - 5x^2$;

2) $z = (x - 3xi) + (5 + x^2i).

Чтобы комплексное число $z = a + bi$ было действительным, его мнимая часть $b$ (коэффициент при мнимой единице $i$) должна быть равна нулю. Для решения задачи в каждом случае необходимо выделить мнимую часть комплексного числа и приравнять её к нулю.

1) $z = 6x^2i + 2xi - 5x^2$

Сначала приведем число $z$ к стандартному алгебраическому виду $a + bi$, сгруппировав действительную и мнимую части.

Действительная часть (слагаемые без $i$): $\text{Re}(z) = -5x^2$.

Мнимая часть (коэффициенты при $i$): $\text{Im}(z) = 6x^2 + 2x$.

Таким образом, число $z$ можно записать как $z = -5x^2 + (6x^2 + 2x)i$.

Число $z$ будет действительным, если его мнимая часть равна нулю:

$6x^2 + 2x = 0$

Для решения этого квадратного уравнения вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(3x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

$2x = 0 \implies x_1 = 0$

$3x + 1 = 0 \implies 3x = -1 \implies x_2 = -\frac{1}{3}$

Ответ: $x=0$ или $x=-\frac{1}{3}$.

2) $z = (x - 3xi) + (5 + x^2i)$

Сначала раскроем скобки: $z = x - 3xi + 5 + x^2i$.

Теперь сгруппируем действительные и мнимые члены, чтобы представить число в виде $a+bi$:

$z = (x + 5) + (-3x + x^2)i$

Действительная часть: $\text{Re}(z) = x + 5$.

Мнимая часть: $\text{Im}(z) = x^2 - 3x$.

Приравняем мнимую часть к нулю:

$x^2 - 3x = 0$

Решим это уравнение, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 3) = 0$

Получаем два решения:

$x_1 = 0$

$x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$

Ответ: $x=0$ или $x=3$.

592. При каких действительных значениях x и y комплексные числа $z_1 = x^2 - 7x + 9yi$ и $z_2 = y^2i + 20i - 12$ равны?

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Запишем данные комплексные числа $z_1 = x^2 - 7x + 9yi$ и $z_2 = y^2i + 20i - 12$ в стандартной алгебраической форме $a+bi$, чтобы выделить их действительные и мнимые части.

Для числа $z_1 = x^2 - 7x + 9yi$ имеем:
Действительная часть: $Re(z_1) = x^2 - 7x$.
Мнимая часть: $Im(z_1) = 9y$.

Для числа $z_2 = y^2i + 20i - 12$, сгруппировав члены, получаем $z_2 = -12 + (y^2 + 20)i$. Таким образом:
Действительная часть: $Re(z_2) = -12$.
Мнимая часть: $Im(z_2) = y^2 + 20$.

Условие равенства $z_1 = z_2$ эквивалентно системе из двух уравнений, полученной приравниванием действительных и мнимых частей соответственно:
$\begin{cases} Re(z_1) = Re(z_2) \\ Im(z_1) = Im(z_2)\end{cases}\implies\begin{cases} x^2 - 7x = -12 \\ 9y = y^2 + 20\end{cases}$

Решим каждое уравнение системы отдельно, так как они не зависят друг от друга.

Первое уравнение для переменной $x$:
$x^2 - 7x + 12 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Этим условиям удовлетворяют числа 3 и 4.
Таким образом, возможные значения для $x$: $x_1 = 3$, $x_2 = 4$.

Второе уравнение для переменной $y$:
$y^2 - 9y + 20 = 0$
Это также квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 9, а их произведение равно 20. Этим условиям удовлетворяют числа 4 и 5.
Таким образом, возможные значения для $y$: $y_1 = 4$, $y_2 = 5$.

Равенство комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ выполняется, когда $x$ принимает одно из значений из множества $\{3, 4\}$, а $y$ — одно из значений из множества $\{4, 5\}$. Составляя все возможные пары, получаем четыре решения.

Ответ: $(3, 4)$; $(3, 5)$; $(4, 4)$; $(4, 5)$.