Страница 232 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

597. Записать число, противоположное числу:

1) $5 + 3i$;

2) $4 - 2i$;

3) $-3 + i$;

4) $-\sqrt{2}-7i$.

Противоположным для комплексного числа $z = a + bi$, где $a$ - действительная часть, а $b$ - мнимая часть, является число $-z$. Чтобы найти противоположное число, нужно умножить исходное число на $-1$, что эквивалентно изменению знаков у действительной и мнимой частей. Таким образом, противоположное число равно $-(a + bi) = -a - bi$.

1) Для числа $5 + 3i$. Противоположным ему является число $-(5 + 3i)$.
$-(5 + 3i) = -5 - 3i$.
Ответ: $-5 - 3i$.

2) Для числа $4 - 2i$. Противоположным ему является число $-(4 - 2i)$.
$-(4 - 2i) = -4 + 2i$.
Ответ: $-4 + 2i$.

3) Для числа $-3 + i$. Противоположным ему является число $-(-3 + i)$.
$-(-3 + i) = 3 - i$.
Ответ: $3 - i$.

4) Для числа $-\sqrt{2} - 7i$. Противоположным ему является число $-(-\sqrt{2} - 7i)$.
$-(-\sqrt{2} - 7i) = \sqrt{2} + 7i$.
Ответ: $\sqrt{2} + 7i$.

598. Найти разность комплексных чисел:

1) $(3 + 4i) - (1 + 3i);$

2) $(2 - 7i) - (5 + 2i);$

3) $(1 + i) - (1 - i);$

4) $(5 - 2i) - (3 - 2i);$

5) $(2 + 5i) - (-1 + 6i);$

6) $(-1 - 4i) - (-1 - 3i);$

7) $(\sqrt{2} + 2\sqrt{3}i) - (3\sqrt{2} - \sqrt{3}i);$

8) $(3\sqrt{5} - \sqrt{3}i) - (\sqrt{5} + 4\sqrt{3}i).$

Для нахождения разности двух комплексных чисел $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$ используется формула:

$z_1 - z_2 = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$

Это означает, что для вычитания комплексных чисел необходимо отдельно вычесть их действительные части и отдельно — их мнимые части.

1) $(3 + 4i) - (1 + 3i)$

Вычитаем действительные части: $3 - 1 = 2$.

Вычитаем мнимые части: $4 - 3 = 1$.

Получаем: $(3 - 1) + (4 - 3)i = 2 + 1i = 2 + i$.

Ответ: $2 + i$

2) $(2 - 7i) - (5 + 2i)$

Вычитаем действительные части: $2 - 5 = -3$.

Вычитаем мнимые части: $-7 - 2 = -9$.

Получаем: $(2 - 5) + (-7 - 2)i = -3 - 9i$.

Ответ: $-3 - 9i$

3) $(1 + i) - (1 - i)$

Вычитаем действительные части: $1 - 1 = 0$.

Вычитаем мнимые части: $1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Получаем: $(1 - 1) + (1 - (-1))i = 0 + 2i = 2i$.

Ответ: $2i$

4) $(5 - 2i) - (3 - 2i)$

Вычитаем действительные части: $5 - 3 = 2$.

Вычитаем мнимые части: $-2 - (-2) = -2 + 2 = 0$.

Получаем: $(5 - 3) + (-2 - (-2))i = 2 + 0i = 2$.

Ответ: $2$

5) $(2 + 5i) - (-1 + 6i)$

Вычитаем действительные части: $2 - (-1) = 2 + 1 = 3$.

Вычитаем мнимые части: $5 - 6 = -1$.

Получаем: $(2 - (-1)) + (5 - 6)i = 3 - 1i = 3 - i$.

Ответ: $3 - i$

6) $(-1 - 4i) - (-1 - 3i)$

Вычитаем действительные части: $-1 - (-1) = -1 + 1 = 0$.

Вычитаем мнимые части: $-4 - (-3) = -4 + 3 = -1$.

Получаем: $(-1 - (-1)) + (-4 - (-3))i = 0 - 1i = -i$.

Ответ: $-i$

7) $(\sqrt{2} + 2\sqrt{3}i) - (3\sqrt{2} - \sqrt{3}i)$

Вычитаем действительные части: $\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = -2\sqrt{2}$.

Вычитаем мнимые части: $2\sqrt{3} - (-\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} + \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.

Получаем: $(\sqrt{2} - 3\sqrt{2}) + (2\sqrt{3} - (-\sqrt{3}))i = -2\sqrt{2} + 3\sqrt{3}i$.

Ответ: $-2\sqrt{2} + 3\sqrt{3}i$

8) $(3\sqrt{5} - \sqrt{3}i) - (\sqrt{5} + 4\sqrt{3}i)$

Вычитаем действительные части: $3\sqrt{5} - \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.

Вычитаем мнимые части: $-\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = -5\sqrt{3}$.

Получаем: $(3\sqrt{5} - \sqrt{5}) + (-\sqrt{3} - 4\sqrt{3})i = 2\sqrt{5} - 5\sqrt{3}i$.

Ответ: $2\sqrt{5} - 5\sqrt{3}i$

599. Вычислить:

1) $(5 - 3i) - (1 + 2i) + (2 - i);$

2) $(4 - 2i) - (7 + i) + (2 - i);$

3) $(8 + 2i) - (3 - 7i) - (5 + 6i);$

4) $(2 + 3i) + (-6 - i) - (-3 + 2i).$

1) Для вычисления выражения $(5 - 3i) - (1 + 2i) + (2 - i)$ необходимо выполнить сложение и вычитание комплексных чисел. Правила сложения и вычитания комплексных чисел аналогичны правилам для многочленов: действительные части складываются (или вычитаются) с действительными, а мнимые — с мнимыми.
Раскроем скобки, обращая внимание на знаки:
$(5 - 3i) - (1 + 2i) + (2 - i) = 5 - 3i - 1 - 2i + 2 - i$
Теперь сгруппируем действительные и мнимые части:
$(5 - 1 + 2) + (-3i - 2i - i)$
Выполним вычисления в каждой группе:
Действительная часть: $5 - 1 + 2 = 4 + 2 = 6$
Мнимая часть: $-3 - 2 - 1 = -6$. Таким образом, мнимая часть равна $-6i$.
Объединяем действительную и мнимую части, чтобы получить окончательный результат:
$6 - 6i$
Ответ: $6 - 6i$

2) Вычислим выражение $(4 - 2i) - (7 + i) + (2 - i)$.
Раскроем скобки:
$(4 - 2i) - (7 + i) + (2 - i) = 4 - 2i - 7 - i + 2 - i$
Сгруппируем действительные и мнимые части:
$(4 - 7 + 2) + (-2i - i - i)$
Выполним вычисления:
Действительная часть: $4 - 7 + 2 = -3 + 2 = -1$
Мнимая часть: $-2 - 1 - 1 = -4$. Таким образом, мнимая часть равна $-4i$.
Результат:
$-1 - 4i$
Ответ: $-1 - 4i$

3) Вычислим выражение $(8 + 2i) - (3 - 7i) - (5 + 6i)$.
Раскроем скобки:
$(8 + 2i) - (3 - 7i) - (5 + 6i) = 8 + 2i - 3 - (-7i) - 5 - 6i = 8 + 2i - 3 + 7i - 5 - 6i$
Сгруппируем действительные и мнимые части:
$(8 - 3 - 5) + (2i + 7i - 6i)$
Выполним вычисления:
Действительная часть: $8 - 3 - 5 = 5 - 5 = 0$
Мнимая часть: $2 + 7 - 6 = 9 - 6 = 3$. Таким образом, мнимая часть равна $3i$.
Результат:
$0 + 3i = 3i$
Ответ: $3i$

4) Вычислим выражение $(2 + 3i) + (-6 - i) - (-3 + 2i)$.
Раскроем скобки:
$(2 + 3i) + (-6 - i) - (-3 + 2i) = 2 + 3i - 6 - i - (-3) - 2i = 2 + 3i - 6 - i + 3 - 2i$
Сгруппируем действительные и мнимые части:
$(2 - 6 + 3) + (3i - i - 2i)$
Выполним вычисления:
Действительная часть: $2 - 6 + 3 = -4 + 3 = -1$
Мнимая часть: $3 - 1 - 2 = 2 - 2 = 0$. Таким образом, мнимая часть равна $0i$.
Результат:
$-1 + 0i = -1$
Ответ: $-1$

600. Найти частное комплексных чисел:

1) $\frac{1-i}{1+i}$;

2) $\frac{3+3i}{1-3i}$;

3) $\frac{2i}{1-i}$;

4) $\frac{1-i}{2i}$;

5) $\frac{2+5i}{-1+6i}$;

6) $\frac{5}{-1-2i}$;

7) $\frac{-3+2i}{1-4i}$;

8) $\frac{-4-3i}{-2-5i}$.

Для того чтобы найти частное двух комплексных чисел, нужно умножить числитель и знаменатель дроби на число, комплексно сопряженное знаменателю. Комплексно сопряженным к числу $z = a + bi$ является число $\overline{z} = a - bi$. При умножении числа на его сопряженное используется формула $(a+bi)(a-bi) = a^2+b^2$. Также используется основное свойство мнимой единицы: $i^2 = -1$.

1) Чтобы найти частное $\frac{1-i}{1+i}$, умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю. Сопряженное к $1+i$ это $1-i$.

$\frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2}{1^2 + 1^2} = \frac{1 - 2i - 1}{2} = \frac{-2i}{2} = -i$.

Ответ: $-i$.

2) Выполним деление $\frac{3+3i}{1-3i}$. Для этого умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $1+3i$.

$\frac{3+3i}{1-3i} = \frac{(3+3i)(1+3i)}{(1-3i)(1+3i)} = \frac{3 \cdot 1 + 3 \cdot 3i + 3i \cdot 1 + 3i \cdot 3i}{1^2 + 3^2} = \frac{3 + 9i + 3i + 9i^2}{1 + 9} = \frac{3 + 12i - 9}{10} = \frac{-6 + 12i}{10} = -\frac{6}{10} + \frac{12}{10}i = -\frac{3}{5} + \frac{6}{5}i$.

Ответ: $-\frac{3}{5} + \frac{6}{5}i$.

3) Чтобы найти частное $\frac{2i}{1-i}$, умножим дробь на сопряженное к знаменателю число $1+i$ в числителе и знаменателе.

$\frac{2i}{1-i} = \frac{2i(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{2i + 2i^2}{1^2 + 1^2} = \frac{2i - 2}{2} = \frac{-2 + 2i}{2} = -1 + i$.

Ответ: $-1 + i$.

4) Для нахождения частного $\frac{1-i}{2i}$, знаменатель которого является чисто мнимым числом, достаточно умножить числитель и знаменатель на $i$, чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе.

$\frac{1-i}{2i} = \frac{(1-i) \cdot i}{2i \cdot i} = \frac{i - i^2}{2i^2} = \frac{i - (-1)}{2(-1)} = \frac{1+i}{-2} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$.

Ответ: $-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$.

5) Найдем частное $\frac{2+5i}{-1+6i}$. Комплексно сопряженное к знаменателю $-1+6i$ есть $-1-6i$. Умножим на него числитель и знаменатель.

$\frac{2+5i}{-1+6i} = \frac{(2+5i)(-1-6i)}{(-1+6i)(-1-6i)} = \frac{-2 - 12i - 5i - 30i^2}{(-1)^2 + 6^2} = \frac{-2 - 17i + 30}{1 + 36} = \frac{28 - 17i}{37} = \frac{28}{37} - \frac{17}{37}i$.

Ответ: $\frac{28}{37} - \frac{17}{37}i$.

6) Чтобы найти частное $\frac{5}{-1-2i}$, умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, т.е. на $-1+2i$.

$\frac{5}{-1-2i} = \frac{5(-1+2i)}{(-1-2i)(-1+2i)} = \frac{-5 + 10i}{(-1)^2 + (-2)^2} = \frac{-5 + 10i}{1 + 4} = \frac{-5 + 10i}{5} = -1 + 2i$.

Ответ: $-1 + 2i$.

7) Выполним деление $\frac{-3+2i}{1-4i}$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $1+4i$.

$\frac{-3+2i}{1-4i} = \frac{(-3+2i)(1+4i)}{(1-4i)(1+4i)} = \frac{-3 - 12i + 2i + 8i^2}{1^2 + (-4)^2} = \frac{-3 - 10i - 8}{1 + 16} = \frac{-11 - 10i}{17} = -\frac{11}{17} - \frac{10}{17}i$.

Ответ: $-\frac{11}{17} - \frac{10}{17}i$.

8) Найдем частное $\frac{-4-3i}{-2-5i}$. Комплексно сопряженное к знаменателю $-2-5i$ есть $-2+5i$. Умножим на него числитель и знаменатель.

$\frac{-4-3i}{-2-5i} = \frac{(-4-3i)(-2+5i)}{(-2-5i)(-2+5i)} = \frac{8 - 20i + 6i - 15i^2}{(-2)^2 + (-5)^2} = \frac{8 - 14i + 15}{4 + 25} = \frac{23 - 14i}{29} = \frac{23}{29} - \frac{14}{29}i$.

Ответ: $\frac{23}{29} - \frac{14}{29}i$.

601. Вычислить:

1) $\frac{(4-3i)(2-i)}{1+i}$;

2) $\frac{(1+i)(2+i)}{3-i}$;

3) $\frac{1-i}{(2+i)(3-4i)}$;

4) $\frac{2-i}{(3-i)(1+3i)}$;

5) $\frac{5+2i}{2-5i} + \frac{3-4i}{4+3i}$;

6) $\frac{2-3i}{1+4i} - \frac{2+3i}{1-4i}$.

1) $\frac{(4 - 3i)(2 - i)}{1 + i}$
Сначала вычислим числитель, перемножив два комплексных числа:
$(4 - 3i)(2 - i) = 4 \cdot 2 - 4 \cdot i - 3i \cdot 2 - 3i \cdot (-i) = 8 - 4i - 6i + 3i^2$
Так как $i^2 = -1$, получаем:
$8 - 10i + 3(-1) = 8 - 10i - 3 = 5 - 10i$
Теперь разделим полученный результат на знаменатель. Для этого умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю ($1 - i$):
$\frac{5 - 10i}{1 + i} = \frac{(5 - 10i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{5 - 5i - 10i + 10i^2}{1^2 - i^2} = \frac{5 - 15i + 10(-1)}{1 - (-1)} = \frac{5 - 15i - 10}{2} = \frac{-5 - 15i}{2} = -\frac{5}{2} - \frac{15}{2}i$
Ответ: $-\frac{5}{2} - \frac{15}{2}i$

2) $\frac{(1 + i)(2 + i)}{3 - i}$
Вычислим числитель:
$(1 + i)(2 + i) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot i + i \cdot 2 + i \cdot i = 2 + 3i + i^2 = 2 + 3i - 1 = 1 + 3i$
Разделим результат на знаменатель, умножив на сопряженное к нему число ($3 + i$):
$\frac{1 + 3i}{3 - i} = \frac{(1 + 3i)(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)} = \frac{3 + i + 9i + 3i^2}{3^2 - i^2} = \frac{3 + 10i + 3(-1)}{9 - (-1)} = \frac{3 + 10i - 3}{10} = \frac{10i}{10} = i$
Ответ: $i$

3) $\frac{1 - i}{(2 + i)(3 - 4i)}$
Сначала вычислим знаменатель:
$(2 + i)(3 - 4i) = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 4i + i \cdot 3 - i \cdot 4i = 6 - 8i + 3i - 4i^2 = 6 - 5i - 4(-1) = 6 - 5i + 4 = 10 - 5i$
Теперь выполним деление, умножив числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю ($10 + 5i$):
$\frac{1 - i}{10 - 5i} = \frac{(1 - i)(10 + 5i)}{(10 - 5i)(10 + 5i)} = \frac{10 + 5i - 10i - 5i^2}{10^2 - (5i)^2} = \frac{10 - 5i - 5(-1)}{100 - 25i^2} = \frac{10 - 5i + 5}{100 + 25} = \frac{15 - 5i}{125} = \frac{15}{125} - \frac{5}{125}i = \frac{3}{25} - \frac{1}{25}i$
Ответ: $\frac{3}{25} - \frac{1}{25}i$

4) $\frac{2 - i}{(3 - i)(1 + 3i)}$
Вычислим знаменатель:
$(3 - i)(1 + 3i) = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 3i - i \cdot 1 - i \cdot 3i = 3 + 9i - i - 3i^2 = 3 + 8i - 3(-1) = 3 + 8i + 3 = 6 + 8i$
Выполним деление, умножив на сопряженное к знаменателю ($6 - 8i$):
$\frac{2 - i}{6 + 8i} = \frac{(2 - i)(6 - 8i)}{(6 + 8i)(6 - 8i)} = \frac{12 - 16i - 6i + 8i^2}{6^2 - (8i)^2} = \frac{12 - 22i + 8(-1)}{36 - 64i^2} = \frac{12 - 22i - 8}{36 + 64} = \frac{4 - 22i}{100} = \frac{4}{100} - \frac{22}{100}i = \frac{1}{25} - \frac{11}{50}i$
Ответ: $\frac{1}{25} - \frac{11}{50}i$

5) $\frac{5 + 2i}{2 - 5i} + \frac{3 - 4i}{4 + 3i}$
Упростим каждое слагаемое по отдельности.
Первое слагаемое:
$\frac{5 + 2i}{2 - 5i} = \frac{(5 + 2i)(2 + 5i)}{(2 - 5i)(2 + 5i)} = \frac{10 + 25i + 4i + 10i^2}{2^2 + 5^2} = \frac{10 + 29i - 10}{4 + 25} = \frac{29i}{29} = i$
Второе слагаемое:
$\frac{3 - 4i}{4 + 3i} = \frac{(3 - 4i)(4 - 3i)}{(4 + 3i)(4 - 3i)} = \frac{12 - 9i - 16i + 12i^2}{4^2 + 3^2} = \frac{12 - 25i - 12}{16 + 9} = \frac{-25i}{25} = -i$
Теперь сложим полученные результаты:
$i + (-i) = 0$
Ответ: $0$

6) $\frac{2 - 3i}{1 + 4i} - \frac{2 + 3i}{1 - 4i}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(1 + 4i)(1 - 4i)$:
$(1 + 4i)(1 - 4i) = 1^2 - (4i)^2 = 1 - 16i^2 = 1 - 16(-1) = 1 + 16 = 17$
Теперь преобразуем выражение:
$\frac{(2 - 3i)(1 - 4i) - (2 + 3i)(1 + 4i)}{17}$
Вычислим числитель:
$(2 - 3i)(1 - 4i) = 2 - 8i - 3i + 12i^2 = 2 - 11i - 12 = -10 - 11i$
$(2 + 3i)(1 + 4i) = 2 + 8i + 3i + 12i^2 = 2 + 11i - 12 = -10 + 11i$
$(-10 - 11i) - (-10 + 11i) = -10 - 11i + 10 - 11i = -22i$
Подставим результат в дробь:
$\frac{-22i}{17} = -\frac{22}{17}i$
Ответ: $-\frac{22}{17}i$

602. Найти модуль комплексного числа z, если:

1) $z = -5 - 2\sqrt{6}i$;

2) $z = -9$;

3) $z = -i$;

4) $z = \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}$.

Модуль комплексного числа — это расстояние от начала координат до точки на комплексной плоскости, соответствующей этому числу. Для комплексного числа, заданного в алгебраической форме $z = a + bi$, где $a$ — действительная часть, а $b$ — мнимая часть, модуль $|z|$ вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Если число задано в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, то его модуль равен $r$.

1) $z = -5 - 2\sqrt{6}i$

Данное комплексное число представлено в алгебраической форме. Его действительная часть $a = -5$, а мнимая часть $b = -2\sqrt{6}$.

Применим формулу для нахождения модуля:

$|z| = \sqrt{(-5)^2 + (-2\sqrt{6})^2} = \sqrt{25 + 4 \cdot 6} = \sqrt{25 + 24} = \sqrt{49} = 7$.

Ответ: 7

2) $z = -9$

Это действительное число, которое является частным случаем комплексного числа с нулевой мнимой частью: $z = -9 + 0i$.

Здесь действительная часть $a = -9$, а мнимая часть $b = 0$.

Вычислим модуль:

$|z| = \sqrt{(-9)^2 + 0^2} = \sqrt{81 + 0} = \sqrt{81} = 9$.

Для любого действительного числа его модуль совпадает с его абсолютным значением.

Ответ: 9

3) $z = -i$

Это чисто мнимое число, которое можно представить в алгебраической форме как $z = 0 - 1i$.

Здесь действительная часть $a = 0$, а мнимая часть $b = -1$.

Вычислим модуль:

$|z| = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1} = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: 1

4) $z = \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}$

Данное комплексное число представлено в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$. В этой записи $r$ является модулем числа. В нашем случае число можно записать как $z = 1 \cdot (\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$, следовательно, модуль $r = 1$.

Также можно проверить это, переведя число в алгебраическую форму. Поскольку $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, получаем:

$z = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$.

Теперь вычислим модуль по стандартной формуле:

$|z| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: 1

603. При каких действительных значениях x и y комплексные числа $z_1=9y^2-4-10xi$ и $z_2=8y^2+20i^7$ являются сопряжёнными?

Два комплексных числа $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$ являются комплексно-сопряженными, если их действительные части равны ($a=c$), а мнимые части противоположны по знаку ($b = -d$).

Сначала приведем данные комплексные числа к стандартному алгебраическому виду $a+bi$.

Первое число: $z_1 = 9y^2 - 4 - 10xi$. Его действительная часть $\text{Re}(z_1) = 9y^2 - 4$, а мнимая часть $\text{Im}(z_1) = -10x$.

Второе число: $z_2 = 8y^2 + 20i^7$. Необходимо упростить степень мнимой единицы $i$. Степени $i$ повторяются с периодом 4: $i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1$. Поэтому $i^7 = i^{4+3} = i^4 \cdot i^3 = 1 \cdot (-i) = -i$.

Подставив это значение, получим: $z_2 = 8y^2 + 20(-i) = 8y^2 - 20i$. Его действительная часть $\text{Re}(z_2) = 8y^2$, а мнимая часть $\text{Im}(z_2) = -20$.

Согласно условию сопряженности, действительные части чисел должны быть равны, а мнимые — противоположны. Это дает нам систему из двух уравнений:

1. $\text{Re}(z_1) = \text{Re}(z_2) \implies 9y^2 - 4 = 8y^2$

2. $\text{Im}(z_1) = -\text{Im}(z_2) \implies -10x = -(-20)$

Решим полученную систему уравнений. Из первого уравнения найдем $y$:

$9y^2 - 8y^2 = 4$

$y^2 = 4$

$y = \pm \sqrt{4}$, что дает два значения: $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Из второго уравнения найдем $x$:

$-10x = 20$

$x = \frac{20}{-10}$

$x = -2$

Таким образом, условие выполняется при $x = -2$ и $y = \pm 2$.

Ответ: $x = -2$, $y = 2$ или $y = -2$.

604. При каком значении $x$ комплексные числа $z_1 = x - 8 - 6i$ и $z_2 = 2x^2 + 6i - 2$ являются противоположными?

Два комплексных числа $z_1$ и $z_2$ называются противоположными, если их сумма равна нулю, то есть $z_1 + z_2 = 0$. Это эквивалентно тому, что их действительные и мнимые части попарно противоположны: $\text{Re}(z_1) = -\text{Re}(z_2)$ и $\text{Im}(z_1) = -\text{Im}(z_2)$.

Даны комплексные числа:

$z_1 = x - 8 - 6i$

$z_2 = 2x^2 + 6i - 2$

Запишем их в стандартной алгебраической форме $a + bi$, выделив действительную (Re) и мнимую (Im) части:

$z_1 = (x - 8) - 6i$, где $\text{Re}(z_1) = x - 8$ и $\text{Im}(z_1) = -6$.

$z_2 = (2x^2 - 2) + 6i$, где $\text{Re}(z_2) = 2x^2 - 2$ и $\text{Im}(z_2) = 6$.

Условие противоположности $z_1 + z_2 = 0$ означает, что сумма их действительных частей и сумма их мнимых частей должны быть равны нулю. Это приводит к системе двух уравнений:

1) $\text{Re}(z_1) + \text{Re}(z_2) = 0 \implies (x - 8) + (2x^2 - 2) = 0$

2) $\text{Im}(z_1) + \text{Im}(z_2) = 0 \implies -6 + 6 = 0$

Второе уравнение, $-6 + 6 = 0$, представляет собой тождество $0 = 0$, которое верно при любом значении $x$. Следовательно, искомое значение $x$ мы должны найти из первого уравнения, приравняв сумму действительных частей к нулю.

Решим уравнение:

$(x - 8) + (2x^2 - 2) = 0$

$2x^2 + x - 10 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Для его решения найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 9}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 9}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} = -2.5$

Таким образом, существуют два значения $x$, при которых данные комплексные числа являются противоположными.

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = -2.5$.

Решить уравнение (605–606).

605. 1) $(1 - 6i) + z = -4 - 7i;$

2) $(2\sqrt{5} - 3\sqrt{3}i) - z = \sqrt{5} + \sqrt{3}i;$

3) $(5 - 4i) - z = 3 - 5i;$

4) $z + (5 - \sqrt{2})i = 6 - i.$

1) Дано уравнение $(1 - 6i) + z = -4 - 7i$. Чтобы найти неизвестное комплексное число $z$, необходимо выразить его из уравнения. Для этого мы перенесем известное слагаемое $(1 - 6i)$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный:
$z = (-4 - 7i) - (1 - 6i)$
Далее выполним вычитание комплексных чисел. Вычитание производится путем отдельного вычитания действительных и мнимых частей:
$z = (-4 - 1) + (-7i - (-6i))$
$z = -5 + (-7i + 6i)$
$z = -5 - i$
Ответ: $z = -5 - i$.

2) Дано уравнение $(2\sqrt{5} - 3\sqrt{3}i) - z = \sqrt{5} + \sqrt{3}i$. В этом уравнении $z$ является вычитаемым. Чтобы найти $z$, нужно из уменьшаемого вычесть разность:
$z = (2\sqrt{5} - 3\sqrt{3}i) - (\sqrt{5} + \sqrt{3}i)$
Выполним вычитание, сгруппировав действительные и мнимые части:
$z = (2\sqrt{5} - \sqrt{5}) + (-3\sqrt{3}i - \sqrt{3}i)$
$z = \sqrt{5} + (-3\sqrt{3} - \sqrt{3})i$
$z = \sqrt{5} - 4\sqrt{3}i$
Ответ: $z = \sqrt{5} - 4\sqrt{3}i$.

3) Дано уравнение $(5 - 4i) - z = 3 - 5i$. Аналогично предыдущему примеру, выразим $z$:
$z = (5 - 4i) - (3 - 5i)$
Произведем вычитание комплексных чисел, отдельно для действительных и мнимых частей:
$z = (5 - 3) + (-4i - (-5i))$
$z = 2 + (-4i + 5i)$
$z = 2 + i$
Ответ: $z = 2 + i$.

4) Дано уравнение $z + (5 - \sqrt{2})i = 6 - i$. Здесь $z$ — неизвестное слагаемое. Чтобы найти его, вычтем известное слагаемое из суммы:
$z = (6 - i) - (5 - \sqrt{2})i$
Сгруппируем действительные и мнимые части. Действительная часть равна 6, так как второе число чисто мнимое.
$z = 6 + (-i - (5 - \sqrt{2})i)$
$z = 6 + (-1 - (5 - \sqrt{2}))i$
$z = 6 + (-1 - 5 + \sqrt{2})i$
$z = 6 + (\sqrt{2} - 6)i$
Ответ: $z = 6 + (\sqrt{2} - 6)i$.

606. 1) $z(3 - 2i) = 1 + 2i;$

2) $z(-3 + 2i) = 5 - 4i;$

3) $z(1 - 3i) - 6 = 2i;$

4) $z(-1 + i) - 7i = -1.$

1) В уравнении $z(3 - 2i) = 1 + 2i$, чтобы найти $z$, разделим правую часть на множитель при $z$:
$z = \frac{1 + 2i}{3 - 2i}$
Умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, т.е. на $(3 + 2i)$:
$z = \frac{(1 + 2i)(3 + 2i)}{(3 - 2i)(3 + 2i)} = \frac{1 \cdot 3 + 1 \cdot 2i + 2i \cdot 3 + 2i \cdot 2i}{3^2 - (2i)^2} = \frac{3 + 2i + 6i + 4i^2}{9 - 4i^2}$
Так как $i^2 = -1$, получаем:
$z = \frac{3 + 8i - 4}{9 - 4(-1)} = \frac{-1 + 8i}{9 + 4} = \frac{-1 + 8i}{13} = -\frac{1}{13} + \frac{8}{13}i$
Ответ: $z = -\frac{1}{13} + \frac{8}{13}i$.

2) В уравнении $z(-3 + 2i) = 5 - 4i$, выразим $z$:
$z = \frac{5 - 4i}{-3 + 2i}$
Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, т.е. на $(-3 - 2i)$:
$z = \frac{(5 - 4i)(-3 - 2i)}{(-3 + 2i)(-3 - 2i)} = \frac{5(-3) + 5(-2i) - 4i(-3) - 4i(-2i)}{(-3)^2 - (2i)^2} = \frac{-15 - 10i + 12i + 8i^2}{9 - 4i^2}$
Так как $i^2 = -1$, получаем:
$z = \frac{-15 + 2i - 8}{9 - 4(-1)} = \frac{-23 + 2i}{9 + 4} = \frac{-23 + 2i}{13} = -\frac{23}{13} + \frac{2}{13}i$
Ответ: $z = -\frac{23}{13} + \frac{2}{13}i$.

3) В уравнении $z(1 - 3i) - 6 = 2i$, сначала перенесем $-6$ в правую часть:
$z(1 - 3i) = 6 + 2i$
Теперь выразим $z$:
$z = \frac{6 + 2i}{1 - 3i}$
Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, т.е. на $(1 + 3i)$:
$z = \frac{(6 + 2i)(1 + 3i)}{(1 - 3i)(1 + 3i)} = \frac{6 \cdot 1 + 6 \cdot 3i + 2i \cdot 1 + 2i \cdot 3i}{1^2 - (3i)^2} = \frac{6 + 18i + 2i + 6i^2}{1 - 9i^2}$
Так как $i^2 = -1$, получаем:
$z = \frac{6 + 20i - 6}{1 - 9(-1)} = \frac{20i}{1 + 9} = \frac{20i}{10} = 2i$
Ответ: $z = 2i$.

4) В уравнении $z(-1 + i) - 7i = -1$, сначала перенесем $-7i$ в правую часть:
$z(-1 + i) = -1 + 7i$
Теперь выразим $z$:
$z = \frac{-1 + 7i}{-1 + i}$
Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, т.е. на $(-1 - i)$:
$z = \frac{(-1 + 7i)(-1 - i)}{(-1 + i)(-1 - i)} = \frac{(-1)(-1) + (-1)(-i) + 7i(-1) + 7i(-i)}{(-1)^2 - i^2} = \frac{1 + i - 7i - 7i^2}{1 - i^2}$
Так как $i^2 = -1$, получаем:
$z = \frac{1 - 6i - 7(-1)}{1 - (-1)} = \frac{1 - 6i + 7}{1 + 1} = \frac{8 - 6i}{2} = 4 - 3i$
Ответ: $z = 4 - 3i$.

607. Вычислить:

1) $(3-2i)^2;$

2) $(1+2i)^3;$

3) $(1+i)^4;$

4) $(1-i)^6;$

5) $(1+i)^3 - (1-i)^3;$

6) $(\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt{3}}{2})^2$.

1) Для вычисления $(3 - 2i)^2$ воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $a=3$ и $b=2i$.
$(3 - 2i)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot (2i) + (2i)^2$
Вспомним, что $i^2 = -1$.
$3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2i + (2i)^2 = 9 - 12i + 4i^2 = 9 - 12i + 4(-1) = 9 - 12i - 4 = 5 - 12i$.
Ответ: $5 - 12i$.

2) Для вычисления $(1 + 2i)^3$ воспользуемся формулой куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
Здесь $a=1$ и $b=2i$.
$(1 + 2i)^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot (2i) + 3 \cdot 1 \cdot (2i)^2 + (2i)^3$
Учитывая, что $i^2 = -1$ и $i^3 = i^2 \cdot i = -i$, получаем:
$1 + 3 \cdot 2i + 3 \cdot (4i^2) + 8i^3 = 1 + 6i + 3(-4) + 8(-i) = 1 + 6i - 12 - 8i = (1 - 12) + (6 - 8)i = -11 - 2i$.
Ответ: $-11 - 2i$.

3) Для вычисления $(1 + i)^4$ представим выражение как $((1 + i)^2)^2$.
Сначала вычислим $(1 + i)^2$ по формуле квадрата суммы:
$(1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$.
Теперь возведем результат в квадрат:
$(2i)^2 = 2^2 \cdot i^2 = 4 \cdot (-1) = -4$.
Ответ: $-4$.

4) Для вычисления $(1 - i)^6$ представим выражение как $((1 - i)^2)^3$.
Сначала вычислим $(1 - i)^2$ по формуле квадрата разности:
$(1 - i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$.
Теперь возведем результат в куб:
$(-2i)^3 = (-2)^3 \cdot i^3 = -8 \cdot (-i) = 8i$.
Ответ: $8i$.

5) Для вычисления выражения $(1 + i)^3 - (1 - i)^3$ сначала вычислим каждое слагаемое по отдельности.
$(1 + i)^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot i + 3 \cdot 1 \cdot i^2 + i^3 = 1 + 3i + 3(-1) - i = 1 + 3i - 3 - i = -2 + 2i$.
$(1 - i)^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot i + 3 \cdot 1 \cdot i^2 - i^3 = 1 - 3i + 3(-1) - (-i) = 1 - 3i - 3 + i = -2 - 2i$.
Теперь найдем разность:
$(-2 + 2i) - (-2 - 2i) = -2 + 2i + 2 + 2i = 4i$.
Ответ: $4i$.

6) Обозначим $a = \frac{1}{2}$ и $b = \frac{i\sqrt{3}}{2}$. Тогда выражение принимает вид $(a+b)^2 + (a-b)^2$.
Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:
$(a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2) = 2a^2 + 2b^2 = 2(a^2 + b^2)$.
Теперь найдем значения $a^2$ и $b^2$.
$a^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
$b^2 = (\frac{i\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{i^2 \cdot (\sqrt{3})^2}{2^2} = \frac{-1 \cdot 3}{4} = -\frac{3}{4}$.
Подставим эти значения в упрощенное выражение:
$2(a^2 + b^2) = 2(\frac{1}{4} - \frac{3}{4}) = 2(-\frac{2}{4}) = 2(-\frac{1}{2}) = -1$.
Ответ: $-1$.

608. Выполнить действия:

1) $ \frac{5+12i}{8-6i} + \frac{(1+2i)^2}{2+i} $

2) $ \frac{(1+2i)^2 - (1-i)^3}{(3+2i)^3 - (2+i)^2} $

1) $ \frac{5+12i}{8-6i} + \frac{(1+2i)^2}{2+i} $

Выполним вычисления по частям.

Сначала упростим первое слагаемое: $ \frac{5+12i}{8-6i} $. Для этого умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $ 8+6i $:

$ \frac{5+12i}{8-6i} = \frac{(5+12i)(8+6i)}{(8-6i)(8+6i)} = \frac{5 \cdot 8 + 5 \cdot 6i + 12i \cdot 8 + 12i \cdot 6i}{8^2 - (6i)^2} = \frac{40 + 30i + 96i + 72i^2}{64 - 36i^2} $

Так как $ i^2 = -1 $, получаем:

$ \frac{40 + 126i - 72}{64 + 36} = \frac{-32 + 126i}{100} = -\frac{32}{100} + \frac{126}{100}i = -0.32 + 1.26i $

Теперь упростим второе слагаемое: $ \frac{(1+2i)^2}{2+i} $. Сначала возведем в квадрат числитель:

$ (1+2i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 2i + (2i)^2 = 1 + 4i + 4i^2 = 1 + 4i - 4 = -3+4i $

Теперь выполним деление, умножив числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число $ 2-i $:

$ \frac{-3+4i}{2+i} = \frac{(-3+4i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{-3 \cdot 2 -3(-i) + 4i \cdot 2 + 4i(-i)}{2^2 - i^2} = \frac{-6 + 3i + 8i - 4i^2}{4 - (-1)} = \frac{-6 + 11i + 4}{5} = \frac{-2+11i}{5} = -0.4 + 2.2i $

Сложим полученные результаты:

$ (-0.32 + 1.26i) + (-0.4 + 2.2i) = (-0.32 - 0.4) + (1.26 + 2.2)i = -0.72 + 3.46i $

Ответ: $ -0.72 + 3.46i $

2) $ \frac{(1+2i)^2 - (1-i)^3}{(3+2i)^3 - (2+i)^2} $

Сначала упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.

Вычислим числитель: $ (1+2i)^2 - (1-i)^3 $.

Найдем значения каждого члена:

$ (1+2i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 2i + (2i)^2 = 1 + 4i + 4i^2 = 1 + 4i - 4 = -3+4i $

$ (1-i)^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot i + 3 \cdot 1 \cdot i^2 - i^3 = 1 - 3i + 3(-1) - (-i) = 1 - 3i - 3 + i = -2-2i $

Теперь вычтем второе из первого:

$ (-3+4i) - (-2-2i) = -3+4i+2+2i = -1+6i $

Вычислим знаменатель: $ (3+2i)^3 - (2+i)^2 $.

Найдем значения каждого члена:

$ (3+2i)^3 = 3^3 + 3 \cdot 3^2 \cdot (2i) + 3 \cdot 3 \cdot (2i)^2 + (2i)^3 = 27 + 54i + 9(4i^2) + 8i^3 = 27 + 54i - 36 - 8i = -9+46i $

$ (2+i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot i + i^2 = 4 + 4i - 1 = 3+4i $

Теперь вычтем второе из первого:

$ (-9+46i) - (3+4i) = -9+46i-3-4i = -12+42i $

Теперь разделим полученный числитель на знаменатель:

$ \frac{-1+6i}{-12+42i} $

Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $ -12-42i $:

$ \frac{(-1+6i)(-12-42i)}{(-12+42i)(-12-42i)} = \frac{(-1)(-12) + (-1)(-42i) + (6i)(-12) + (6i)(-42i)}{(-12)^2 - (42i)^2} $

$ \frac{12 + 42i - 72i - 252i^2}{144 - 1764i^2} = \frac{12 - 30i + 252}{144 + 1764} = \frac{264 - 30i}{1908} $

Разделим на действительную и мнимую части и сократим дроби:

$ \frac{264}{1908} - \frac{30}{1908}i = \frac{264 \div 12}{1908 \div 12} - \frac{30 \div 6}{1908 \div 6}i = \frac{22}{159} - \frac{5}{318}i $

Ответ: $ \frac{22}{159} - \frac{5}{318}i $