Номер 602, страница 232 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 2. Комплексно сопряжённые числа. Модуль комплексного числа. Операции вычитания и выделения - номер 602, страница 232.

Условие.

602. Найти модуль комплексного числа z, если:

1) $z = -5 - 2\sqrt{6}i$;

2) $z = -9$;

3) $z = -i$;

4) $z = \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Модуль комплексного числа — это расстояние от начала координат до точки на комплексной плоскости, соответствующей этому числу. Для комплексного числа, заданного в алгебраической форме $z = a + bi$, где $a$ — действительная часть, а $b$ — мнимая часть, модуль $|z|$ вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Если число задано в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, то его модуль равен $r$.

1) $z = -5 - 2\sqrt{6}i$

Данное комплексное число представлено в алгебраической форме. Его действительная часть $a = -5$, а мнимая часть $b = -2\sqrt{6}$.

Применим формулу для нахождения модуля:

$|z| = \sqrt{(-5)^2 + (-2\sqrt{6})^2} = \sqrt{25 + 4 \cdot 6} = \sqrt{25 + 24} = \sqrt{49} = 7$.

Ответ: 7

2) $z = -9$

Это действительное число, которое является частным случаем комплексного числа с нулевой мнимой частью: $z = -9 + 0i$.

Здесь действительная часть $a = -9$, а мнимая часть $b = 0$.

Вычислим модуль:

$|z| = \sqrt{(-9)^2 + 0^2} = \sqrt{81 + 0} = \sqrt{81} = 9$.

Для любого действительного числа его модуль совпадает с его абсолютным значением.

Ответ: 9

3) $z = -i$

Это чисто мнимое число, которое можно представить в алгебраической форме как $z = 0 - 1i$.

Здесь действительная часть $a = 0$, а мнимая часть $b = -1$.

Вычислим модуль:

$|z| = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1} = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: 1

4) $z = \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}$

Данное комплексное число представлено в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$. В этой записи $r$ является модулем числа. В нашем случае число можно записать как $z = 1 \cdot (\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$, следовательно, модуль $r = 1$.

Также можно проверить это, переведя число в алгебраическую форму. Поскольку $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, получаем:

$z = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$.

Теперь вычислим модуль по стандартной формуле:

$|z| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: 1