Номер 604, страница 232 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 2. Комплексно сопряжённые числа. Модуль комплексного числа. Операции вычитания и выделения - номер 604, страница 232.

Условие.

604. При каком значении $x$ комплексные числа $z_1 = x - 8 - 6i$ и $z_2 = 2x^2 + 6i - 2$ являются противоположными?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Два комплексных числа $z_1$ и $z_2$ называются противоположными, если их сумма равна нулю, то есть $z_1 + z_2 = 0$. Это эквивалентно тому, что их действительные и мнимые части попарно противоположны: $\text{Re}(z_1) = -\text{Re}(z_2)$ и $\text{Im}(z_1) = -\text{Im}(z_2)$.

Даны комплексные числа:

$z_1 = x - 8 - 6i$

$z_2 = 2x^2 + 6i - 2$

Запишем их в стандартной алгебраической форме $a + bi$, выделив действительную (Re) и мнимую (Im) части:

$z_1 = (x - 8) - 6i$, где $\text{Re}(z_1) = x - 8$ и $\text{Im}(z_1) = -6$.

$z_2 = (2x^2 - 2) + 6i$, где $\text{Re}(z_2) = 2x^2 - 2$ и $\text{Im}(z_2) = 6$.

Условие противоположности $z_1 + z_2 = 0$ означает, что сумма их действительных частей и сумма их мнимых частей должны быть равны нулю. Это приводит к системе двух уравнений:

1) $\text{Re}(z_1) + \text{Re}(z_2) = 0 \implies (x - 8) + (2x^2 - 2) = 0$

2) $\text{Im}(z_1) + \text{Im}(z_2) = 0 \implies -6 + 6 = 0$

Второе уравнение, $-6 + 6 = 0$, представляет собой тождество $0 = 0$, которое верно при любом значении $x$. Следовательно, искомое значение $x$ мы должны найти из первого уравнения, приравняв сумму действительных частей к нулю.

Решим уравнение:

$(x - 8) + (2x^2 - 2) = 0$

$2x^2 + x - 10 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Для его решения найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 9}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 9}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} = -2.5$

Таким образом, существуют два значения $x$, при которых данные комплексные числа являются противоположными.

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = -2.5$.