Номер 607, страница 232 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 2. Комплексно сопряжённые числа. Модуль комплексного числа. Операции вычитания и выделения. Глава 7. Комплексные числа - номер 607, страница 232.

Условие.

607. Вычислить:

1) $(3-2i)^2;$

2) $(1+2i)^3;$

3) $(1+i)^4;$

4) $(1-i)^6;$

5) $(1+i)^3 - (1-i)^3;$

6) $(\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt{3}}{2})^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для вычисления $(3 - 2i)^2$ воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $a=3$ и $b=2i$.
$(3 - 2i)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot (2i) + (2i)^2$
Вспомним, что $i^2 = -1$.
$3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2i + (2i)^2 = 9 - 12i + 4i^2 = 9 - 12i + 4(-1) = 9 - 12i - 4 = 5 - 12i$.
Ответ: $5 - 12i$.

2) Для вычисления $(1 + 2i)^3$ воспользуемся формулой куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
Здесь $a=1$ и $b=2i$.
$(1 + 2i)^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot (2i) + 3 \cdot 1 \cdot (2i)^2 + (2i)^3$
Учитывая, что $i^2 = -1$ и $i^3 = i^2 \cdot i = -i$, получаем:
$1 + 3 \cdot 2i + 3 \cdot (4i^2) + 8i^3 = 1 + 6i + 3(-4) + 8(-i) = 1 + 6i - 12 - 8i = (1 - 12) + (6 - 8)i = -11 - 2i$.
Ответ: $-11 - 2i$.

3) Для вычисления $(1 + i)^4$ представим выражение как $((1 + i)^2)^2$.
Сначала вычислим $(1 + i)^2$ по формуле квадрата суммы:
$(1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$.
Теперь возведем результат в квадрат:
$(2i)^2 = 2^2 \cdot i^2 = 4 \cdot (-1) = -4$.
Ответ: $-4$.

4) Для вычисления $(1 - i)^6$ представим выражение как $((1 - i)^2)^3$.
Сначала вычислим $(1 - i)^2$ по формуле квадрата разности:
$(1 - i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$.
Теперь возведем результат в куб:
$(-2i)^3 = (-2)^3 \cdot i^3 = -8 \cdot (-i) = 8i$.
Ответ: $8i$.

5) Для вычисления выражения $(1 + i)^3 - (1 - i)^3$ сначала вычислим каждое слагаемое по отдельности.
$(1 + i)^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot i + 3 \cdot 1 \cdot i^2 + i^3 = 1 + 3i + 3(-1) - i = 1 + 3i - 3 - i = -2 + 2i$.
$(1 - i)^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot i + 3 \cdot 1 \cdot i^2 - i^3 = 1 - 3i + 3(-1) - (-i) = 1 - 3i - 3 + i = -2 - 2i$.
Теперь найдем разность:
$(-2 + 2i) - (-2 - 2i) = -2 + 2i + 2 + 2i = 4i$.
Ответ: $4i$.

6) Обозначим $a = \frac{1}{2}$ и $b = \frac{i\sqrt{3}}{2}$. Тогда выражение принимает вид $(a+b)^2 + (a-b)^2$.
Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:
$(a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2) = 2a^2 + 2b^2 = 2(a^2 + b^2)$.
Теперь найдем значения $a^2$ и $b^2$.
$a^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
$b^2 = (\frac{i\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{i^2 \cdot (\sqrt{3})^2}{2^2} = \frac{-1 \cdot 3}{4} = -\frac{3}{4}$.
Подставим эти значения в упрощенное выражение:
$2(a^2 + b^2) = 2(\frac{1}{4} - \frac{3}{4}) = 2(-\frac{2}{4}) = 2(-\frac{1}{2}) = -1$.
Ответ: $-1$.