Номер 601, страница 232 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 2. Комплексно сопряжённые числа. Модуль комплексного числа. Операции вычитания и выделения - номер 601, страница 232.

Условие.

601. Вычислить:

1) $\frac{(4-3i)(2-i)}{1+i}$;

2) $\frac{(1+i)(2+i)}{3-i}$;

3) $\frac{1-i}{(2+i)(3-4i)}$;

4) $\frac{2-i}{(3-i)(1+3i)}$;

5) $\frac{5+2i}{2-5i} + \frac{3-4i}{4+3i}$;

6) $\frac{2-3i}{1+4i} - \frac{2+3i}{1-4i}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\frac{(4 - 3i)(2 - i)}{1 + i}$
Сначала вычислим числитель, перемножив два комплексных числа:
$(4 - 3i)(2 - i) = 4 \cdot 2 - 4 \cdot i - 3i \cdot 2 - 3i \cdot (-i) = 8 - 4i - 6i + 3i^2$
Так как $i^2 = -1$, получаем:
$8 - 10i + 3(-1) = 8 - 10i - 3 = 5 - 10i$
Теперь разделим полученный результат на знаменатель. Для этого умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю ($1 - i$):
$\frac{5 - 10i}{1 + i} = \frac{(5 - 10i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{5 - 5i - 10i + 10i^2}{1^2 - i^2} = \frac{5 - 15i + 10(-1)}{1 - (-1)} = \frac{5 - 15i - 10}{2} = \frac{-5 - 15i}{2} = -\frac{5}{2} - \frac{15}{2}i$
Ответ: $-\frac{5}{2} - \frac{15}{2}i$

2) $\frac{(1 + i)(2 + i)}{3 - i}$
Вычислим числитель:
$(1 + i)(2 + i) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot i + i \cdot 2 + i \cdot i = 2 + 3i + i^2 = 2 + 3i - 1 = 1 + 3i$
Разделим результат на знаменатель, умножив на сопряженное к нему число ($3 + i$):
$\frac{1 + 3i}{3 - i} = \frac{(1 + 3i)(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)} = \frac{3 + i + 9i + 3i^2}{3^2 - i^2} = \frac{3 + 10i + 3(-1)}{9 - (-1)} = \frac{3 + 10i - 3}{10} = \frac{10i}{10} = i$
Ответ: $i$

3) $\frac{1 - i}{(2 + i)(3 - 4i)}$
Сначала вычислим знаменатель:
$(2 + i)(3 - 4i) = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 4i + i \cdot 3 - i \cdot 4i = 6 - 8i + 3i - 4i^2 = 6 - 5i - 4(-1) = 6 - 5i + 4 = 10 - 5i$
Теперь выполним деление, умножив числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю ($10 + 5i$):
$\frac{1 - i}{10 - 5i} = \frac{(1 - i)(10 + 5i)}{(10 - 5i)(10 + 5i)} = \frac{10 + 5i - 10i - 5i^2}{10^2 - (5i)^2} = \frac{10 - 5i - 5(-1)}{100 - 25i^2} = \frac{10 - 5i + 5}{100 + 25} = \frac{15 - 5i}{125} = \frac{15}{125} - \frac{5}{125}i = \frac{3}{25} - \frac{1}{25}i$
Ответ: $\frac{3}{25} - \frac{1}{25}i$

4) $\frac{2 - i}{(3 - i)(1 + 3i)}$
Вычислим знаменатель:
$(3 - i)(1 + 3i) = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 3i - i \cdot 1 - i \cdot 3i = 3 + 9i - i - 3i^2 = 3 + 8i - 3(-1) = 3 + 8i + 3 = 6 + 8i$
Выполним деление, умножив на сопряженное к знаменателю ($6 - 8i$):
$\frac{2 - i}{6 + 8i} = \frac{(2 - i)(6 - 8i)}{(6 + 8i)(6 - 8i)} = \frac{12 - 16i - 6i + 8i^2}{6^2 - (8i)^2} = \frac{12 - 22i + 8(-1)}{36 - 64i^2} = \frac{12 - 22i - 8}{36 + 64} = \frac{4 - 22i}{100} = \frac{4}{100} - \frac{22}{100}i = \frac{1}{25} - \frac{11}{50}i$
Ответ: $\frac{1}{25} - \frac{11}{50}i$

5) $\frac{5 + 2i}{2 - 5i} + \frac{3 - 4i}{4 + 3i}$
Упростим каждое слагаемое по отдельности.
Первое слагаемое:
$\frac{5 + 2i}{2 - 5i} = \frac{(5 + 2i)(2 + 5i)}{(2 - 5i)(2 + 5i)} = \frac{10 + 25i + 4i + 10i^2}{2^2 + 5^2} = \frac{10 + 29i - 10}{4 + 25} = \frac{29i}{29} = i$
Второе слагаемое:
$\frac{3 - 4i}{4 + 3i} = \frac{(3 - 4i)(4 - 3i)}{(4 + 3i)(4 - 3i)} = \frac{12 - 9i - 16i + 12i^2}{4^2 + 3^2} = \frac{12 - 25i - 12}{16 + 9} = \frac{-25i}{25} = -i$
Теперь сложим полученные результаты:
$i + (-i) = 0$
Ответ: $0$

6) $\frac{2 - 3i}{1 + 4i} - \frac{2 + 3i}{1 - 4i}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(1 + 4i)(1 - 4i)$:
$(1 + 4i)(1 - 4i) = 1^2 - (4i)^2 = 1 - 16i^2 = 1 - 16(-1) = 1 + 16 = 17$
Теперь преобразуем выражение:
$\frac{(2 - 3i)(1 - 4i) - (2 + 3i)(1 + 4i)}{17}$
Вычислим числитель:
$(2 - 3i)(1 - 4i) = 2 - 8i - 3i + 12i^2 = 2 - 11i - 12 = -10 - 11i$
$(2 + 3i)(1 + 4i) = 2 + 8i + 3i + 12i^2 = 2 + 11i - 12 = -10 + 11i$
$(-10 - 11i) - (-10 + 11i) = -10 - 11i + 10 - 11i = -22i$
Подставим результат в дробь:
$\frac{-22i}{17} = -\frac{22}{17}i$
Ответ: $-\frac{22}{17}i$