Номер 606, страница 232 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 2. Комплексно сопряжённые числа. Модуль комплексного числа. Операции вычитания и выделения - номер 606, страница 232.

Условие.

606. 1) $z(3 - 2i) = 1 + 2i;$

2) $z(-3 + 2i) = 5 - 4i;$

3) $z(1 - 3i) - 6 = 2i;$

4) $z(-1 + i) - 7i = -1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) В уравнении $z(3 - 2i) = 1 + 2i$, чтобы найти $z$, разделим правую часть на множитель при $z$:
$z = \frac{1 + 2i}{3 - 2i}$
Умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, т.е. на $(3 + 2i)$:
$z = \frac{(1 + 2i)(3 + 2i)}{(3 - 2i)(3 + 2i)} = \frac{1 \cdot 3 + 1 \cdot 2i + 2i \cdot 3 + 2i \cdot 2i}{3^2 - (2i)^2} = \frac{3 + 2i + 6i + 4i^2}{9 - 4i^2}$
Так как $i^2 = -1$, получаем:
$z = \frac{3 + 8i - 4}{9 - 4(-1)} = \frac{-1 + 8i}{9 + 4} = \frac{-1 + 8i}{13} = -\frac{1}{13} + \frac{8}{13}i$
Ответ: $z = -\frac{1}{13} + \frac{8}{13}i$.

2) В уравнении $z(-3 + 2i) = 5 - 4i$, выразим $z$:
$z = \frac{5 - 4i}{-3 + 2i}$
Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, т.е. на $(-3 - 2i)$:
$z = \frac{(5 - 4i)(-3 - 2i)}{(-3 + 2i)(-3 - 2i)} = \frac{5(-3) + 5(-2i) - 4i(-3) - 4i(-2i)}{(-3)^2 - (2i)^2} = \frac{-15 - 10i + 12i + 8i^2}{9 - 4i^2}$
Так как $i^2 = -1$, получаем:
$z = \frac{-15 + 2i - 8}{9 - 4(-1)} = \frac{-23 + 2i}{9 + 4} = \frac{-23 + 2i}{13} = -\frac{23}{13} + \frac{2}{13}i$
Ответ: $z = -\frac{23}{13} + \frac{2}{13}i$.

3) В уравнении $z(1 - 3i) - 6 = 2i$, сначала перенесем $-6$ в правую часть:
$z(1 - 3i) = 6 + 2i$
Теперь выразим $z$:
$z = \frac{6 + 2i}{1 - 3i}$
Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, т.е. на $(1 + 3i)$:
$z = \frac{(6 + 2i)(1 + 3i)}{(1 - 3i)(1 + 3i)} = \frac{6 \cdot 1 + 6 \cdot 3i + 2i \cdot 1 + 2i \cdot 3i}{1^2 - (3i)^2} = \frac{6 + 18i + 2i + 6i^2}{1 - 9i^2}$
Так как $i^2 = -1$, получаем:
$z = \frac{6 + 20i - 6}{1 - 9(-1)} = \frac{20i}{1 + 9} = \frac{20i}{10} = 2i$
Ответ: $z = 2i$.

4) В уравнении $z(-1 + i) - 7i = -1$, сначала перенесем $-7i$ в правую часть:
$z(-1 + i) = -1 + 7i$
Теперь выразим $z$:
$z = \frac{-1 + 7i}{-1 + i}$
Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, т.е. на $(-1 - i)$:
$z = \frac{(-1 + 7i)(-1 - i)}{(-1 + i)(-1 - i)} = \frac{(-1)(-1) + (-1)(-i) + 7i(-1) + 7i(-i)}{(-1)^2 - i^2} = \frac{1 + i - 7i - 7i^2}{1 - i^2}$
Так как $i^2 = -1$, получаем:
$z = \frac{1 - 6i - 7(-1)}{1 - (-1)} = \frac{1 - 6i + 7}{1 + 1} = \frac{8 - 6i}{2} = 4 - 3i$
Ответ: $z = 4 - 3i$.