Номер 609, страница 233 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 2. Комплексно сопряжённые числа. Модуль комплексного числа. Операции вычитания и выделения - номер 609, страница 233.

Условие.

609. Решить уравнение:

1) $|z| - iz = 1 - 2i;

2) $z^2 + 3|z| = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $|z| - iz = 1 - 2i$

Пусть комплексное число $z$ представлено в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$.

Тогда модуль числа $z$ равен $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Подставим это в исходное уравнение:

$\sqrt{x^2 + y^2} - i(x + iy) = 1 - 2i$

Раскроем скобки:

$\sqrt{x^2 + y^2} - ix - i^2y = 1 - 2i$

Поскольку $i^2 = -1$, получаем:

$\sqrt{x^2 + y^2} - ix + y = 1 - 2i$

Сгруппируем действительную и мнимую части в левой части уравнения:

$(\sqrt{x^2 + y^2} + y) - ix = 1 - 2i$

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Приравняем их:

Действительная часть: $\sqrt{x^2 + y^2} + y = 1$

Мнимая часть: $-x = -2 \implies x = 2$

Подставим значение $x=2$ в уравнение для действительной части:

$\sqrt{2^2 + y^2} + y = 1$

$\sqrt{4 + y^2} = 1 - y$

Левая часть уравнения (арифметический квадратный корень) неотрицательна, следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной: $1 - y \ge 0$, что означает $y \le 1$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{4 + y^2})^2 = (1 - y)^2$

$4 + y^2 = 1 - 2y + y^2$

Вычтем $y^2$ из обеих частей:

$4 = 1 - 2y$

$2y = 1 - 4$

$2y = -3$

$y = -\frac{3}{2}$

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $y$ условию $y \le 1$.

$-\frac{3}{2} = -1.5$, и $-1.5 \le 1$. Условие выполняется.

Таким образом, мы нашли $x=2$ и $y = -3/2$. Искомое комплексное число:

$z = x + iy = 2 - \frac{3}{2}i$

Ответ: $z = 2 - \frac{3}{2}i$.

2) $z^2 + 3|z| = 0$

Перепишем уравнение в виде $z^2 = -3|z|$.

Поскольку $|z|$ является действительным и неотрицательным числом ($|z| \ge 0$), правая часть уравнения $-3|z|$ является действительным и неположительным числом ($-3|z| \le 0$).

Следовательно, $z^2$ также должно быть действительным и неположительным числом.

Пусть $z = x + iy$. Тогда $z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$.

Так как $z^2$ — действительное число, его мнимая часть должна быть равна нулю:

$2xy = 0$

Это равенство выполняется в двух случаях: либо $x=0$, либо $y=0$.

Случай 1: $x = 0$

В этом случае $z = iy$. Подставим это в исходное уравнение:

$(iy)^2 + 3|iy| = 0$

$i^2y^2 + 3\sqrt{0^2 + y^2} = 0$

$-y^2 + 3|y| = 0$

Рассмотрим два подслучая:

а) Если $y \ge 0$, то $|y|=y$. Уравнение принимает вид:

$-y^2 + 3y = 0 \implies y(-y + 3) = 0$

Отсюда $y=0$ или $y=3$. Оба значения удовлетворяют условию $y \ge 0$.

При $y=0$, получаем $z = i \cdot 0 = 0$.

При $y=3$, получаем $z = i \cdot 3 = 3i$.

б) Если $y < 0$, то $|y|=-y$. Уравнение принимает вид:

$-y^2 + 3(-y) = 0 \implies -y^2 - 3y = 0 \implies -y(y + 3) = 0$

Отсюда $y=0$ или $y=-3$. Условию $y < 0$ удовлетворяет только $y=-3$.

При $y=-3$, получаем $z = i \cdot (-3) = -3i$.

Случай 2: $y = 0$

В этом случае $z=x$. Уравнение принимает вид:

$x^2 + 3|x| = 0$

Поскольку $x^2 \ge 0$ и $|x| \ge 0$, их сумма $x^2 + 3|x|$ равна нулю только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:

$x^2 = 0 \implies x = 0$

$|x| = 0 \implies x = 0$

Это дает нам решение $z = 0$, которое уже было найдено в первом случае.

Объединяя все найденные решения, получаем три корня уравнения.

Ответ: $z_1 = 0$, $z_2 = 3i$, $z_3 = -3i$.