Номер 609, страница 233 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 2. Комплексно сопряжённые числа. Модуль комплексного числа. Операции вычитания и выделения. Глава 7. Комплексные числа - номер 609, страница 233.
№609 (с. 233)
Условие. №609 (с. 233)
скриншот условия

609. Решить уравнение:
1) $|z| - iz = 1 - 2i;
2) $z^2 + 3|z| = 0.$
Решение 1. №609 (с. 233)


Решение 2. №609 (с. 233)


Решение 3. №609 (с. 233)
1) $|z| - iz = 1 - 2i$
Пусть комплексное число $z$ представлено в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$.
Тогда модуль числа $z$ равен $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Подставим это в исходное уравнение:
$\sqrt{x^2 + y^2} - i(x + iy) = 1 - 2i$
Раскроем скобки:
$\sqrt{x^2 + y^2} - ix - i^2y = 1 - 2i$
Поскольку $i^2 = -1$, получаем:
$\sqrt{x^2 + y^2} - ix + y = 1 - 2i$
Сгруппируем действительную и мнимую части в левой части уравнения:
$(\sqrt{x^2 + y^2} + y) - ix = 1 - 2i$
Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Приравняем их:
Действительная часть: $\sqrt{x^2 + y^2} + y = 1$
Мнимая часть: $-x = -2 \implies x = 2$
Подставим значение $x=2$ в уравнение для действительной части:
$\sqrt{2^2 + y^2} + y = 1$
$\sqrt{4 + y^2} = 1 - y$
Левая часть уравнения (арифметический квадратный корень) неотрицательна, следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной: $1 - y \ge 0$, что означает $y \le 1$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{4 + y^2})^2 = (1 - y)^2$
$4 + y^2 = 1 - 2y + y^2$
Вычтем $y^2$ из обеих частей:
$4 = 1 - 2y$
$2y = 1 - 4$
$2y = -3$
$y = -\frac{3}{2}$
Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $y$ условию $y \le 1$.
$-\frac{3}{2} = -1.5$, и $-1.5 \le 1$. Условие выполняется.
Таким образом, мы нашли $x=2$ и $y = -3/2$. Искомое комплексное число:
$z = x + iy = 2 - \frac{3}{2}i$
Ответ: $z = 2 - \frac{3}{2}i$.
2) $z^2 + 3|z| = 0$
Перепишем уравнение в виде $z^2 = -3|z|$.
Поскольку $|z|$ является действительным и неотрицательным числом ($|z| \ge 0$), правая часть уравнения $-3|z|$ является действительным и неположительным числом ($-3|z| \le 0$).
Следовательно, $z^2$ также должно быть действительным и неположительным числом.
Пусть $z = x + iy$. Тогда $z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$.
Так как $z^2$ — действительное число, его мнимая часть должна быть равна нулю:
$2xy = 0$
Это равенство выполняется в двух случаях: либо $x=0$, либо $y=0$.
Случай 1: $x = 0$
В этом случае $z = iy$. Подставим это в исходное уравнение:
$(iy)^2 + 3|iy| = 0$
$i^2y^2 + 3\sqrt{0^2 + y^2} = 0$
$-y^2 + 3|y| = 0$
Рассмотрим два подслучая:
а) Если $y \ge 0$, то $|y|=y$. Уравнение принимает вид:
$-y^2 + 3y = 0 \implies y(-y + 3) = 0$
Отсюда $y=0$ или $y=3$. Оба значения удовлетворяют условию $y \ge 0$.
При $y=0$, получаем $z = i \cdot 0 = 0$.
При $y=3$, получаем $z = i \cdot 3 = 3i$.
б) Если $y < 0$, то $|y|=-y$. Уравнение принимает вид:
$-y^2 + 3(-y) = 0 \implies -y^2 - 3y = 0 \implies -y(y + 3) = 0$
Отсюда $y=0$ или $y=-3$. Условию $y < 0$ удовлетворяет только $y=-3$.
При $y=-3$, получаем $z = i \cdot (-3) = -3i$.
Случай 2: $y = 0$
В этом случае $z=x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 + 3|x| = 0$
Поскольку $x^2 \ge 0$ и $|x| \ge 0$, их сумма $x^2 + 3|x|$ равна нулю только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:
$x^2 = 0 \implies x = 0$
$|x| = 0 \implies x = 0$
Это дает нам решение $z = 0$, которое уже было найдено в первом случае.
Объединяя все найденные решения, получаем три корня уравнения.
Ответ: $z_1 = 0$, $z_2 = 3i$, $z_3 = -3i$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 609 расположенного на странице 233 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №609 (с. 233), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.