Номер 611, страница 233 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 2. Комплексно сопряжённые числа. Модуль комплексного числа. Операции вычитания и выделения. Глава 7. Комплексные числа - номер 611, страница 233.

Условие.

611. Доказать, что $|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 4c^2$, если $|z_1| = |z_2| = c$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства данного тождества воспользуемся свойством квадрата модуля комплексного числа, которое гласит, что для любого комплексного числа $z$ выполняется равенство $|z|^2 = z \cdot \bar{z}$, где $\bar{z}$ — комплексно-сопряжённое число к $z$.

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства: $|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2$.

Применим указанное свойство к каждому слагаемому в выражении:

$|z_1 + z_2|^2 = (z_1 + z_2) \cdot \overline{(z_1 + z_2)}$

$|z_1 - z_2|^2 = (z_1 - z_2) \cdot \overline{(z_1 - z_2)}$

Далее, используем свойство сопряжения суммы и разности комплексных чисел: $\overline{a \pm b} = \bar{a} \pm \bar{b}$.

$|z_1 + z_2|^2 = (z_1 + z_2)(\bar{z_1} + \bar{z_2})$

$|z_1 - z_2|^2 = (z_1 - z_2)(\bar{z_1} - \bar{z_2})$

Теперь раскроем скобки в каждом из полученных выражений:

$(z_1 + z_2)(\bar{z_1} + \bar{z_2}) = z_1\bar{z_1} + z_1\bar{z_2} + z_2\bar{z_1} + z_2\bar{z_2}$

$(z_1 - z_2)(\bar{z_1} - \bar{z_2}) = z_1\bar{z_1} - z_1\bar{z_2} - z_2\bar{z_1} + z_2\bar{z_2}$

Подставим раскрытые выражения обратно в исходную сумму:

$|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = (z_1\bar{z_1} + z_1\bar{z_2} + z_2\bar{z_1} + z_2\bar{z_2}) + (z_1\bar{z_1} - z_1\bar{z_2} - z_2\bar{z_1} + z_2\bar{z_2})$

Сгруппируем и сократим подобные члены. Члены $z_1\bar{z_2}$ и $-z_1\bar{z_2}$, а также $z_2\bar{z_1}$ и $-z_2\bar{z_1}$ взаимно уничтожаются:

$|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 2z_1\bar{z_1} + 2z_2\bar{z_2} = 2(z_1\bar{z_1} + z_2\bar{z_2})$

Теперь вернемся к представлению $z\bar{z} = |z|^2$:

$2(|z_1|^2 + |z_2|^2)$

По условию задачи нам дано, что $|z_1| = |z_2| = c$. Подставим это значение в полученное выражение:

$2(c^2 + c^2) = 2(2c^2) = 4c^2$

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства $|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2$ равна $4c^2$, что и требовалось доказать.

Стоит отметить, что это равенство является частным случаем тождества параллелограмма, которое гласит, что сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон. В данном случае комплексные числа $z_1$ и $z_2$ можно рассматривать как векторы, образующие стороны параллелограмма (в нашем случае — ромба, так как их длины равны $c$), а $z_1+z_2$ и $z_1-z_2$ — как его диагонали.

Ответ: Равенство доказано.