Номер 617, страница 236 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 3. Геометрическая интерпретация комплексного числа - номер 617, страница 236.

Условие.

617. Решить уравнение:

1) $z + 3\bar{z} = 8 + 12i$

2) $4z - \bar{z} = -9 + 10i$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для решения уравнения $z + 3\bar{z} = 8 + 12i$ представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x$ и $y$ – действительные числа. Тогда комплексно-сопряженное число $\bar{z}$ будет равно $x - iy$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(x + iy) + 3(x - iy) = 8 + 12i$

Раскроем скобки и сгруппируем действительные и мнимые части:

$x + iy + 3x - 3iy = 8 + 12i$

$(x + 3x) + (y - 3y)i = 8 + 12i$

$4x - 2yi = 8 + 12i$

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Приравняем их, составив систему уравнений:

$\begin{cases} 4x = 8 \\ -2y = 12 \end{cases}$

Решим полученную систему уравнений:

Из первого уравнения находим $x$: $x = \frac{8}{4} = 2$.

Из второго уравнения находим $y$: $y = \frac{12}{-2} = -6$.

Таким образом, искомое комплексное число $z = x + iy = 2 - 6i$.

Ответ: $z = 2 - 6i$.

2) Для решения уравнения $4z - \bar{z} = -9 + 10i$ также представим $z$ в виде $z = x + iy$ и, соответственно, $\bar{z}$ в виде $\bar{z} = x - iy$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$4(x + iy) - (x - iy) = -9 + 10i$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4x + 4iy - x + iy = -9 + 10i$

$(4x - x) + (4y + y)i = -9 + 10i$

$3x + 5yi = -9 + 10i$

Приравняем действительные и мнимые части левой и правой сторон уравнения:

$\begin{cases} 3x = -9 \\ 5y = 10 \end{cases}$

Решим эту систему:

Из первого уравнения: $x = \frac{-9}{3} = -3$.

Из второго уравнения: $y = \frac{10}{5} = 2$.

Следовательно, комплексное число $z = x + iy = -3 + 2i$.

Ответ: $z = -3 + 2i$.