Номер 610, страница 233 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 2. Комплексно сопряжённые числа. Модуль комплексного числа. Операции вычитания и выделения - номер 610, страница 233.

Условие.

610. Вычислить:

1) $i^6 + i^{20} + i^{30} + i^{36} + i^{54}$

2) $\frac{1}{i^{13}} + \frac{1}{i^{23}} + \frac{1}{i^{33}}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для вычисления данного выражения необходимо найти значения степеней мнимой единицы $i$.

Степени мнимой единицы $i$ цикличны с периодом 4:
$i^1 = i$
$i^2 = -1$
$i^3 = -i$
$i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$
Для нахождения $i^n$ достаточно найти остаток от деления показателя степени $n$ на 4. Если $n = 4k + r$, где $r$ — остаток, то $i^n = i^{4k+r} = (i^4)^k \cdot i^r = 1^k \cdot i^r = i^r$. Если остаток от деления равен 0, это эквивалентно остатку 4, и $i^n = i^4 = 1$.

Вычислим каждое слагаемое:

• $i^6$: остаток от деления 6 на 4 равен 2, поэтому $i^6 = i^2 = -1$.
• $i^{20}$: 20 делится на 4 без остатка (остаток 0), поэтому $i^{20} = i^4 = 1$.
• $i^{30}$: остаток от деления 30 на 4 равен 2, поэтому $i^{30} = i^2 = -1$.
• $i^{36}$: 36 делится на 4 без остатка (остаток 0), поэтому $i^{36} = i^4 = 1$.
• $i^{54}$: остаток от деления 54 на 4 равен 2, поэтому $i^{54} = i^2 = -1$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение и вычислим сумму:

$i^6 + i^{20} + i^{30} + i^{36} + i^{54} = (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) = 0 + 0 - 1 = -1$.

Ответ: -1.

2) Для вычисления данного выражения сначала упростим каждую дробь.

Общий подход заключается в вычислении знаменателя $i^n$, а затем в избавлении от мнимости в знаменателе. Для этого можно использовать свойство $i^{-n} = \frac{1}{i^n}$ или домножить числитель и знаменатель на подходящее выражение. Полезно помнить, что $\frac{1}{i} = -i$.

Вычислим каждое слагаемое по отдельности:

• $\frac{1}{i^{13}}$: Сначала найдем $i^{13}$. Показатель степени $13 = 4 \cdot 3 + 1$. Значит, $i^{13} = i^1 = i$. Тогда дробь равна $\frac{1}{i}$. Чтобы избавиться от $i$ в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $i$: $\frac{1}{i} = \frac{1 \cdot i}{i \cdot i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i$.
• $\frac{1}{i^{23}}$: Найдем $i^{23}$. Показатель степени $23 = 4 \cdot 5 + 3$. Значит, $i^{23} = i^3 = -i$. Тогда дробь равна $\frac{1}{-i}$. Домножим числитель и знаменатель на $i$: $\frac{1}{-i} = \frac{1 \cdot i}{-i \cdot i} = \frac{i}{-i^2} = \frac{i}{-(-1)} = \frac{i}{1} = i$.
• $\frac{1}{i^{33}}$: Найдем $i^{33}$. Показатель степени $33 = 4 \cdot 8 + 1$. Значит, $i^{33} = i^1 = i$. Тогда дробь равна $\frac{1}{i} = -i$, как мы уже вычислили для первого слагаемого.

Теперь сложим полученные значения:

$\frac{1}{i^{13}} + \frac{1}{i^{23}} + \frac{1}{i^{33}} = (-i) + i + (-i) = 0 - i = -i$.

Ответ: -i.