Номер 610, страница 233 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 2. Комплексно сопряжённые числа. Модуль комплексного числа. Операции вычитания и выделения. Глава 7. Комплексные числа - номер 610, страница 233.
№610 (с. 233)
Условие. №610 (с. 233)
скриншот условия

610. Вычислить:
1) $i^6 + i^{20} + i^{30} + i^{36} + i^{54}$
2) $\frac{1}{i^{13}} + \frac{1}{i^{23}} + \frac{1}{i^{33}}$
Решение 1. №610 (с. 233)


Решение 2. №610 (с. 233)

Решение 3. №610 (с. 233)
1) Для вычисления данного выражения необходимо найти значения степеней мнимой единицы $i$.
Степени мнимой единицы $i$ цикличны с периодом 4:
$i^1 = i$
$i^2 = -1$
$i^3 = -i$
$i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$
Для нахождения $i^n$ достаточно найти остаток от деления показателя степени $n$ на 4. Если $n = 4k + r$, где $r$ — остаток, то $i^n = i^{4k+r} = (i^4)^k \cdot i^r = 1^k \cdot i^r = i^r$. Если остаток от деления равен 0, это эквивалентно остатку 4, и $i^n = i^4 = 1$.
Вычислим каждое слагаемое:
- $i^6$: остаток от деления 6 на 4 равен 2, поэтому $i^6 = i^2 = -1$.
- $i^{20}$: 20 делится на 4 без остатка (остаток 0), поэтому $i^{20} = i^4 = 1$.
- $i^{30}$: остаток от деления 30 на 4 равен 2, поэтому $i^{30} = i^2 = -1$.
- $i^{36}$: 36 делится на 4 без остатка (остаток 0), поэтому $i^{36} = i^4 = 1$.
- $i^{54}$: остаток от деления 54 на 4 равен 2, поэтому $i^{54} = i^2 = -1$.
Теперь подставим найденные значения в исходное выражение и вычислим сумму:
$i^6 + i^{20} + i^{30} + i^{36} + i^{54} = (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) = 0 + 0 - 1 = -1$.
Ответ: -1.
2) Для вычисления данного выражения сначала упростим каждую дробь.
Общий подход заключается в вычислении знаменателя $i^n$, а затем в избавлении от мнимости в знаменателе. Для этого можно использовать свойство $i^{-n} = \frac{1}{i^n}$ или домножить числитель и знаменатель на подходящее выражение. Полезно помнить, что $\frac{1}{i} = -i$.
Вычислим каждое слагаемое по отдельности:
- $\frac{1}{i^{13}}$: Сначала найдем $i^{13}$. Показатель степени $13 = 4 \cdot 3 + 1$. Значит, $i^{13} = i^1 = i$. Тогда дробь равна $\frac{1}{i}$. Чтобы избавиться от $i$ в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $i$: $\frac{1}{i} = \frac{1 \cdot i}{i \cdot i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i$.
- $\frac{1}{i^{23}}$: Найдем $i^{23}$. Показатель степени $23 = 4 \cdot 5 + 3$. Значит, $i^{23} = i^3 = -i$. Тогда дробь равна $\frac{1}{-i}$. Домножим числитель и знаменатель на $i$: $\frac{1}{-i} = \frac{1 \cdot i}{-i \cdot i} = \frac{i}{-i^2} = \frac{i}{-(-1)} = \frac{i}{1} = i$.
- $\frac{1}{i^{33}}$: Найдем $i^{33}$. Показатель степени $33 = 4 \cdot 8 + 1$. Значит, $i^{33} = i^1 = i$. Тогда дробь равна $\frac{1}{i} = -i$, как мы уже вычислили для первого слагаемого.
Теперь сложим полученные значения:
$\frac{1}{i^{13}} + \frac{1}{i^{23}} + \frac{1}{i^{33}} = (-i) + i + (-i) = 0 - i = -i$.
Ответ: -i.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 610 расположенного на странице 233 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №610 (с. 233), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.