Номер 608, страница 232 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 2. Комплексно сопряжённые числа. Модуль комплексного числа. Операции вычитания и выделения. Глава 7. Комплексные числа - номер 608, страница 232.

Условие.

608. Выполнить действия:

1) $ \frac{5+12i}{8-6i} + \frac{(1+2i)^2}{2+i} $

2) $ \frac{(1+2i)^2 - (1-i)^3}{(3+2i)^3 - (2+i)^2} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $ \frac{5+12i}{8-6i} + \frac{(1+2i)^2}{2+i} $

Выполним вычисления по частям.

Сначала упростим первое слагаемое: $ \frac{5+12i}{8-6i} $. Для этого умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $ 8+6i $:

$ \frac{5+12i}{8-6i} = \frac{(5+12i)(8+6i)}{(8-6i)(8+6i)} = \frac{5 \cdot 8 + 5 \cdot 6i + 12i \cdot 8 + 12i \cdot 6i}{8^2 - (6i)^2} = \frac{40 + 30i + 96i + 72i^2}{64 - 36i^2} $

Так как $ i^2 = -1 $, получаем:

$ \frac{40 + 126i - 72}{64 + 36} = \frac{-32 + 126i}{100} = -\frac{32}{100} + \frac{126}{100}i = -0.32 + 1.26i $

Теперь упростим второе слагаемое: $ \frac{(1+2i)^2}{2+i} $. Сначала возведем в квадрат числитель:

$ (1+2i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 2i + (2i)^2 = 1 + 4i + 4i^2 = 1 + 4i - 4 = -3+4i $

Теперь выполним деление, умножив числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число $ 2-i $:

$ \frac{-3+4i}{2+i} = \frac{(-3+4i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{-3 \cdot 2 -3(-i) + 4i \cdot 2 + 4i(-i)}{2^2 - i^2} = \frac{-6 + 3i + 8i - 4i^2}{4 - (-1)} = \frac{-6 + 11i + 4}{5} = \frac{-2+11i}{5} = -0.4 + 2.2i $

Сложим полученные результаты:

$ (-0.32 + 1.26i) + (-0.4 + 2.2i) = (-0.32 - 0.4) + (1.26 + 2.2)i = -0.72 + 3.46i $

Ответ: $ -0.72 + 3.46i $

2) $ \frac{(1+2i)^2 - (1-i)^3}{(3+2i)^3 - (2+i)^2} $

Сначала упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.

Вычислим числитель: $ (1+2i)^2 - (1-i)^3 $.

Найдем значения каждого члена:

$ (1+2i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 2i + (2i)^2 = 1 + 4i + 4i^2 = 1 + 4i - 4 = -3+4i $

$ (1-i)^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot i + 3 \cdot 1 \cdot i^2 - i^3 = 1 - 3i + 3(-1) - (-i) = 1 - 3i - 3 + i = -2-2i $

Теперь вычтем второе из первого:

$ (-3+4i) - (-2-2i) = -3+4i+2+2i = -1+6i $

Вычислим знаменатель: $ (3+2i)^3 - (2+i)^2 $.

Найдем значения каждого члена:

$ (3+2i)^3 = 3^3 + 3 \cdot 3^2 \cdot (2i) + 3 \cdot 3 \cdot (2i)^2 + (2i)^3 = 27 + 54i + 9(4i^2) + 8i^3 = 27 + 54i - 36 - 8i = -9+46i $

$ (2+i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot i + i^2 = 4 + 4i - 1 = 3+4i $

Теперь вычтем второе из первого:

$ (-9+46i) - (3+4i) = -9+46i-3-4i = -12+42i $

Теперь разделим полученный числитель на знаменатель:

$ \frac{-1+6i}{-12+42i} $

Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $ -12-42i $:

$ \frac{(-1+6i)(-12-42i)}{(-12+42i)(-12-42i)} = \frac{(-1)(-12) + (-1)(-42i) + (6i)(-12) + (6i)(-42i)}{(-12)^2 - (42i)^2} $

$ \frac{12 + 42i - 72i - 252i^2}{144 - 1764i^2} = \frac{12 - 30i + 252}{144 + 1764} = \frac{264 - 30i}{1908} $

Разделим на действительную и мнимую части и сократим дроби:

$ \frac{264}{1908} - \frac{30}{1908}i = \frac{264 \div 12}{1908 \div 12} - \frac{30 \div 6}{1908 \div 6}i = \frac{22}{159} - \frac{5}{318}i $

Ответ: $ \frac{22}{159} - \frac{5}{318}i $