Номер 612, страница 233 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 2. Комплексно сопряжённые числа. Модуль комплексного числа. Операции вычитания и выделения - номер 612, страница 233.

Условие.

612. Вычислить:

1) $(1 + i)^8$;

2) $(1 - i)^{12}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Для вычисления $(1+i)^8$ удобно представить степень 8 как $2 \cdot 4$ и воспользоваться свойством степеней $(a^m)^n = a^{mn}$. Сначала возведем в квадрат основание $(1+i)$.

Используя формулу квадрата суммы, получаем:

$(1+i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$.

Здесь мы учли, что по определению мнимой единицы $i^2 = -1$.

Теперь возведем полученный результат $2i$ в степень 4:

$(1+i)^8 = ((1+i)^2)^4 = (2i)^4 = 2^4 \cdot i^4 = 16 \cdot i^4$.

Так как $i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$, то окончательный результат:

$16 \cdot 1 = 16$.

Ответ: $16$

2)

Для вычисления $(1-i)^{12}$ применим аналогичный подход. Представим степень 12 как $2 \cdot 6$.

Сначала найдем $(1-i)^2$, используя формулу квадрата разности:

$(1-i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$.

Теперь исходное выражение можно переписать в виде:

$(1-i)^{12} = ((1-i)^2)^6 = (-2i)^6$.

Возведем $-2i$ в шестую степень:

$(-2i)^6 = (-2)^6 \cdot i^6 = 64 \cdot i^6$.

Для нахождения $i^6$ воспользуемся свойством $i^2 = -1$:

$i^6 = (i^2)^3 = (-1)^3 = -1$.

Подставив это значение, получаем окончательный результат:

$64 \cdot i^6 = 64 \cdot (-1) = -64$.

Ответ: $-64$