Номер 618, страница 236 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 3. Геометрическая интерпретация комплексного числа - номер 618, страница 236.

Условие.

618. Найти расстояние между точками:

1) $6$ и $8i$;

2) $7i$ и $-2i$;

3) $1 + i$ и $2 + 3i$;

4) $3 - 2i$ и $1 - 4i$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Расстояние между двумя точками на комплексной плоскости, которые заданы комплексными числами $z_1 = x_1 + y_1i$ и $z_2 = x_2 + y_2i$, равно модулю их разности: $d = |z_1 - z_2|$. Эта величина вычисляется по формуле, аналогичной формуле расстояния между двумя точками на декартовой плоскости: $d = |(x_1 - x_2) + (y_1 - y_2)i| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$.

1) Найдем расстояние между точками $z_1 = 6$ и $z_2 = 8i$.

Представим эти числа в стандартной форме: $z_1 = 6 + 0i$ и $z_2 = 0 + 8i$. Вычислим разность этих чисел: $z_1 - z_2 = (6 + 0i) - (0 + 8i) = 6 - 8i$. Теперь найдем модуль полученной разности, что и будет расстоянием между точками: $d = |6 - 8i| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: 10.

2) Найдем расстояние между точками $z_1 = 7i$ и $z_2 = -2i$.

Представим эти числа в стандартной форме: $z_1 = 0 + 7i$ и $z_2 = 0 - 2i$. Вычислим разность: $z_1 - z_2 = (0 + 7i) - (0 - 2i) = 7i + 2i = 9i$. Найдем модуль разности: $d = |9i| = |0 + 9i| = \sqrt{0^2 + 9^2} = \sqrt{81} = 9$. Так как обе точки лежат на мнимой оси, расстояние можно было найти как модуль разности их мнимых частей: $|7 - (-2)| = |9| = 9$.

Ответ: 9.

3) Найдем расстояние между точками $z_1 = 1 + i$ и $z_2 = 2 + 3i$.

Вычислим разность комплексных чисел: $z_1 - z_2 = (1 + i) - (2 + 3i) = (1 - 2) + (1 - 3)i = -1 - 2i$. Найдем модуль полученной разности: $d = |-1 - 2i| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$.

4) Найдем расстояние между точками $z_1 = 3 - 2i$ и $z_2 = 1 - 4i$.

Вычислим разность комплексных чисел: $z_1 - z_2 = (3 - 2i) - (1 - 4i) = (3 - 1) + (-2 - (-4))i = 2 + (-2 + 4)i = 2 + 2i$. Найдем модуль полученной разности: $d = |2 + 2i| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{2}$.